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Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung soll ich nehmen? Leitfaden für Monte-Carlo-Modelle

Leitfaden · Stand: Oktober 2026

Wählen Sie die Verteilung danach aus, was Sie über die unsichere Größe wissen, nicht nach ihrem Namen. Hat eine Fachperson einen niedrigen, einen wahrscheinlichsten und einen hohen Wert genannt, passt eine PERT- oder eine Dreiecksverteilung. Für einen positiven Betrag mit langem oberen Ende, etwa Kosten oder eine Dauer, eignet sich die Lognormalverteilung, für eine symmetrische Messgröße die Normalverteilung, für eine Zeit bis zum Ausfall die Weibull-Verteilung, für eine Anzahl von Ereignissen die Poisson-Verteilung und für ein Ereignis, das eintritt oder nicht, die Bernoulli-Verteilung. Für einen Anteil zwischen 0 und 1 passt die Beta-Verteilung, für mehrere Anteile, die zusammen ein Ganzes ergeben müssen, die Dirichlet-Verteilung. Den größten Wert eines Zeitraums beschreibt eine Gumbel- oder GEV-Verteilung, eine Summe von Verlusten, die von deren Anzahl und Höhe abhängt, eine zusammengesetzte Verteilung. Liegen frühere Daten vor, passen Sie eine Verteilung an diese Daten an. Der Finder weiter unten stellt ein oder zwei Fragen und nennt die passende Verteilung; xellstorm bietet insgesamt 52 Verteilungen, auch aus eigenen Wertetabellen.

Die passende Verteilung finden Alle Verteilungen als Excel-Formeln (.xlsx)

Die passende Verteilung finden

Wählen Sie, was Ihre unsichere Größe beschreibt. Reicht eine Antwort nicht aus, erscheint darunter eine zweite Frage.

Welche Größe ist unsicher?
Was bedeuten der niedrige und der hohe Wert?

PERT-Verteilung

Eine glatte Kurve von min bis max mit dem Gipfel beim wahrscheinlichsten Wert, die die Grenzen selten erreicht. Ihr Mittelwert (min + 4 × wahrscheinlichster Wert + max) / 6 liegt nahe am wahrscheinlichsten Wert.

In xellstorm wählen Sie „PERT“ und geben „min“, „wahrscheinlich“ und „max“ ein. Neue Eingangsgrößen starten als PERT-Verteilung.

Leitfaden zur PERT-Verteilung

Dreiecksverteilung

Geraden von min hinauf zum wahrscheinlichsten Wert und hinunter zu max. Bei denselben drei Zahlen streut sie breiter als eine PERT-Verteilung und liest die Schätzung damit vorsichtiger.

In xellstorm wählen Sie „Dreieck“ und geben „min“, „wahrscheinlich“ und „max“ ein.

Leitfaden zur Dreiecksverteilung

Gleichverteilung

Jeder Wert zwischen min und max ist gleich wahrscheinlich. Verwenden Sie sie nur, wenn Sie wirklich nicht sagen können, welcher Teil des Bereichs plausibler ist.

In xellstorm wählen Sie „Gleichverteilung“ und geben „min“ und „max“ ein.

Leitfaden zur Gleichverteilung

Eine an Ihre Perzentile angepasste Verteilung

Als min und max verwendet, ließen ein P10 und ein P90 die 20 % der Ergebnisse jenseits davon unter den Tisch fallen. Passen Sie stattdessen eine Form an, die durch Ihr P10, P50 und P90 geht: die Lognormalverteilung bei langem oberen Ende, die Normalverteilung bei symmetrischer Streuung.

In xellstorm markieren Sie die Eingangsgröße und verwenden in der Seitenleiste „Aus Schätzungen“ mit PERT, Normal, Lognormal oder Dreieck. Alternativ wählen Sie „Dreieck aus Perzentilen“, eine Dreiecksverteilung, die über Perzentile statt über Grenzen festgelegt wird.

P50, P80 und P90 erklärt

Eine an Ihre Daten angepasste Verteilung

Lassen Sie die Daten entscheiden: Passen Sie mehrere Formen an und vergleichen Sie, wie gut jede die Werte erklärt. Prüfen Sie, ob die Vergangenheit noch repräsentativ ist, und bedenken Sie, dass eine kleine Stichprobe über die Extremwerte wenig sagt.

In xellstorm markieren Sie die Eingangsgröße und verwenden in der Seitenleiste „Aus Daten“. Die App passt unter anderem Normal-, Lognormal-, Gamma-, Weibull-, Beta-, Poisson- und negative Binomialverteilung an und ordnet sie nach ihrer Güte.

Praxisbeispiel: Lieferzeiten anpassen

Bernoulli-Verteilung

1 mit der Wahrscheinlichkeit p, sonst 0. Multiplizieren Sie sie mit der Auswirkung des Ereignisses, erhalten Sie dessen Kosten in jeder Iteration: nie den Durchschnitt, immer alles oder nichts.

In xellstorm wählen Sie „Bernoulli“ und geben p ein; die Auswirkung gehört in eine eigene Zelle.

Leitfaden zur Bernoulli- und Binomialverteilung
Was für eine Anzahl?

Poisson-Verteilung

Ganze Zahlen, die eine einzige Größe festlegt: die durchschnittliche Anzahl je Zeitraum. Ihre Varianz ist gleich dem Mittelwert.

In xellstorm wählen Sie „Poisson“ und geben den „Mittelwert“ ein.

Leitfaden zur Poisson-Verteilung

Negative Binomialverteilung

Eine Anzahl, deren Varianz größer ist als ihr Mittelwert: mehr ruhige und mehr starke Zeiträume als bei einer Poisson-Verteilung. Typisch für Nachfrage und gehäufte Fehler.

In xellstorm wählen Sie „Negativ binomial“ und geben n und p ein oder passen die Verteilung an frühere Anzahlen an.

Leitfaden zur Poisson- und negativen Binomialverteilung

Binomialverteilung

Die Anzahl der Treffer unter n unabhängigen Versuchen mit jeweils derselben Wahrscheinlichkeit p, von 0 bis n.

In xellstorm wählen Sie „Binomial“ und geben n und p ein.

Leitfaden zur Binomialverteilung
Was für eine Zeit?

Weibull-Verteilung

Ein Skalenparameter für die typische Lebensdauer und ein Formparameter dafür, wie sich die Ausfälle über die Zeit verteilen: unter 1 Frühausfälle, über 1 Verschleiß.

In xellstorm wählen Sie „Weibull“ und geben shape und scale ein.

Leitfaden zur Weibull-Verteilung

Exponentialverteilung

Eine einzige Zahl, die mittlere Zeit zwischen zwei Ereignissen. Das Alter spielt keine Rolle: Die Chance auf ein Ereignis in der nächsten Stunde ist immer dieselbe.

In xellstorm wählen Sie „Exponential“ und geben den Mittelwert als scale ein.

Leitfaden zur Weibull- und Exponentialverteilung

Lognormalverteilung (oder PERT-Verteilung bei einer Schätzung)

Positiv, mit langem oberen Ende. Liegt eine Dreipunktschätzung der Dauer von Fachleuten vor, leistet eine PERT-Verteilung innerhalb ihrer Grenzen dasselbe.

In xellstorm wählen Sie „Lognormal“ (s, scale = der Median, loc 0) oder passen die Verteilung an frühere Dauern an.

Leitfaden zur Lognormalverteilung

Gamma-Verteilung

Die Summe mehrerer exponentialverteilter Wartezeiten: Der Formparameter ist ihre Anzahl, der Skalenparameter der Mittelwert jeder einzelnen. Außerdem eine allgemeine positive, rechtsschiefe Form.

In xellstorm wählen Sie „Gamma“ und geben a (den Formparameter) und scale ein.

Leitfaden zur Gamma-Verteilung
Ein einzelner Betrag oder die Summe vieler?

Lognormalverteilung

Die meisten Werte liegen nahe am typischen, einige weit darüber. Ihr Mittelwert liegt über dem Median; deshalb reichen Budgets nicht, die auf typischen Werten beruhen. Die Gamma-Verteilung hat eine ähnliche Form mit einem dünneren Ende.

In xellstorm wählen Sie „Lognormal“ oder passen die Verteilung mit „Aus Schätzungen“ an P10, P50 und P90 an.

Leitfaden zur Lognormalverteilung

Verbund (Körper + Ende)

Unterhalb eines Punkts gilt eine Verteilung, oberhalb eine andere: etwa eine Lognormalverteilung für gewöhnliche Verluste und eine verallgemeinerte Pareto-Verteilung für die Verluste jenseits eines Schwellenwerts. Geben Sie den Anteil unterhalb des Punkts an, oder lassen Sie ihn leer: Dann treffen sich die beiden Dichten auf gleicher Höhe.

In xellstorm wählen Sie „Verbund (Körper + Ende)“ und legen dann in der Zeile der Eingangsgröße den Körper unterhalb des Punkts, das Ende oberhalb davon und den „Verbindungspunkt“ fest.

Leitfaden zur Lognormalverteilung

Zusammengesetzte Verteilung (Häufigkeit × Höhe)

In jeder Iteration zieht xellstorm eine Anzahl von Ereignissen aus einer Häufigkeitsverteilung, etwa einer Poisson- oder negativen Binomialverteilung, und ebenso viele Höhen aus einer Verteilung der Höhe, etwa einer Lognormalverteilung, und addiert diese Höhen. Ein Jahr ohne Ereignis kostet nichts, in einem Jahr mit mehreren Ereignissen summieren sich alle. Für jedes Ereignis können ein Selbstbehalt und eine Obergrenze gelten.

In xellstorm wählen Sie „Zusammengesetzt“ und legen dann in der Zeile der Eingangsgröße die „Häufigkeit“, die „Höhe“ und, falls zutreffend, „Selbstbehalt“ und „Obergrenze“ je Ereignis fest.

Leitfaden zur Poisson-Verteilung: Ereignisse zählen

Gumbel-Verteilung oder GEV (verallgemeinerte Extremwertverteilung)

Das Maximum vieler Werte folgt einer Extremwertverteilung mit langem oberen Ende. Eine Gumbel-Verteilung hat eine feste Form; eine GEV-Verteilung hat zusätzlich einen Formparameter für ein schwereres Ende oder für Werte, die an einer Obergrenze enden. Verwenden Sie die früheren Höchstwerte jedes Zeitraums, nicht alle Werte.

In xellstorm wählen Sie „Gumbel“ (loc, scale) oder passen die Verteilung mit „Aus Daten“ an frühere Höchstwerte an; oder Sie wählen „GEV (verallg. Extremwert)“. Deren Formparameter shape (c) ist das übliche ξ mit umgekehrtem Vorzeichen, wie in scipy: unter 0 für ein schweres oberes Ende.

Normalverteilung

Die Glockenkurve: ein Mittelwert und eine Standardabweichung. Sie beschreibt auch die Summe vieler kleiner, unabhängiger Unsicherheiten.

In xellstorm wählen Sie „Normal“ und geben „Mittelwert“ und „Stdabw.“ ein.

Leitfaden zur Normalverteilung
Ein einzelner Anteil oder mehrere, die ein Ganzes bilden?

Beta-Verteilung

Bleibt von ihrer Konstruktion her zwischen 0 und 1. Ihr Mittelwert ist alpha / (alpha + beta); je größer die Summe der beiden, desto schmaler ist sie.

In xellstorm wählen Sie „Beta“ und geben a und b ein (loc 0 und scale 1 für einen Anteil).

Leitfaden zur Beta-Verteilung

Dirichlet-Verteilung (Anteile an einer Summe)

Ein unsicherer Anteil je Zelle, und in jeder Iteration ergeben die Anteile zusammen die vorgegebene Summe. Das Alpha einer Zelle geteilt durch die Summe aller Alphas ist ihr mittlerer Anteil; je größer die Alphas insgesamt, desto weniger schwanken die Anteile. Jeder Anteil für sich folgt einer Beta-Verteilung.

In xellstorm machen Sie den Zellbereich zu einer Eingangsgröße, wählen „Dirichlet (Anteile an einer Summe)“ und geben ein Alpha je Zelle sowie die „Summe“ ein (leer gelassen gilt 1).

Leitfaden zur Beta-Verteilung

Eine Zeitreihe

Jeder Zeitraum geht vom vorigen aus, ein schlechter Monat wirkt also im nächsten fort, statt unabhängig neu gezogen zu werden. Ein Preis, der um zufällige Prozentsätze wächst, ein Zins, der um ein Niveau schwankt.

In xellstorm machen Sie die Zellenreihe zu einer Eingangsgröße und stellen deren Ziehung auf „Zeitreihe (ein Pfad)“ ein. Danach wählen Sie „GBM (Wachstum)“, „Random Walk“, „AR(1)“, „Mean Reversion“ oder „Sprungdiffusion“.

Praxisbeispiel: Liquiditätsreichweite

Die Verteilungen im Überblick

Die Parameter heißen wie im Verteilungsmenü von xellstorm. Jede Verteilung lässt sich außerdem abschneiden (nur Werte zwischen zwei Grenzen behalten) und verschieben.

Gängige Verteilungen, was sie beschreiben, ihre Parameter in xellstorm und eine Zufallsziehung in Excel
VerteilungBeschreibtParameterZiehung in Excel
PERT-VerteilungExpertenschätzungen mit Grenzen, wobei dem wahrscheinlichsten Wert am meisten vertraut wirdmin, wahrscheinlich, maxBETA.INV(RAND(), α, β, min, max)
DreiecksverteilungExpertenschätzungen mit Grenzen, Werte nahe daran möglichmin, wahrscheinlich, maxEin IF (WENN) mit SQRT (WURZEL), siehe Leitfaden
GleichverteilungEin Bereich ohne bevorzugten Wertmin, maxmin+(max-min)*RAND()
NormalverteilungSymmetrische Streuung: Messwerte, Fehler, Summen aus vielen TeilenMittelwert, Stdabw.NORM.INV(RAND(), mean, sd)
LognormalverteilungPositive Beträge mit langem oberen Ende: Kosten, Verluste, Dauerns, scale, locLOGNORM.INV(RAND(), LN(median), s)
Gamma-VerteilungPositiv, rechtsschief; die Summe mehrerer Wartezeitena, scale, locGAMMA.INV(RAND(), shape, scale)
Beta-VerteilungAnteile und Raten zwischen 0 und 1a, b, loc, scaleBETA.INV(RAND(), α, β)
Weibull-VerteilungZeit bis zum Ausfall, Verschleiß oder Frühausfälleshape, scale, locscale*(-LN(1-RAND()))^(1/shape)
ExponentialverteilungZeit zwischen zufälligen Ereignissen mit gleichbleibender Ratescale, loc-mean*LN(1-RAND())
Poisson-VerteilungEreignisse pro Zeitraum mit durchschnittlicher RateMittelwertEine Tabelle aus POISSON.DIST und COUNTIF (POISSON.VERT, ZÄHLENWENN), siehe Leitfaden
Negative BinomialverteilungAnzahlen, die ungleichmäßiger streuen als bei Poisson: Nachfrage, gehäufte Fehlern, pEine Tabelle aus NEGBINOM.DIST und COUNTIF (NEGBINOM.VERT, ZÄHLENWENN)
Bernoulli-VerteilungOb ein Ereignis eintritt (1) oder nicht (0)pIF(RAND()<p, 1, 0)
BinomialverteilungTreffer bei n Versuchenn, pBINOM.INV(n, p, RAND())
Ganzzahlige GleichverteilungGanze Zahlen in einem Bereich, alle gleich wahrscheinlichniedrig, hochRANDBETWEEN(low, high)
Diskrete TabelleEinige mögliche Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiteneine Tabelle aus Werten und WahrscheinlichkeitenEin Nachschlagen in den Summenwahrscheinlichkeiten
Dreieck aus PerzentilenEine Dreiecksverteilung, die über ein unteres und ein oberes Perzentil statt über Grenzen festgelegt wirdunten, wahrscheinlich, oben, unten %, oben %–
Student-t-VerteilungSymmetrisch mit schweren Enden: Renditen, Fehler mit Ausreißerndf, loc, scaleloc+scale*T.INV(RAND(), df)
Gumbel-VerteilungDas Maximum vieler Werte: jährliche Spitzenlasten, Hochwasserloc, scaleloc-scale*LN(-LN(RAND()))
GEV (verallgemeinerte Extremwertverteilung)Das Maximum vieler Werte, mit schwererem Ende oder Obergrenzeshape (c), loc, scaleloc+scale*(1-(-LN(RAND()))^c)/c
MetalogEine flexible Form durch mehrere Perzentileeine Tabelle aus Werten und Wahrscheinlichkeiten–
Zusammengesetzte VerteilungDie Summe einer zufälligen Anzahl von Ereignissen mit jeweils eigener Höhe: Schadensfälle, VerlusteHäufigkeit, Höhe, Selbstbehalt, Obergrenze–
Verbund (Körper + Ende)Unterhalb eines Punkts eine Verteilung, oberhalb eine andere: ein Körper und ein schweres Endeunterhalb des Punkts, oberhalb des Punkts, Verbindungspunkt, Anteil darunter–
Dirichlet-Verteilung (Anteile an einer Summe)Anteile, die in jeder Iteration eine vorgegebene Summe ergeben: Marktanteile, eine Budgetaufteilungalpha je Zelle, SummeGAMMA.INV(RAND(), alpha, 1) in jeder Zelle, geteilt durch deren Summe

xellstorm bietet 52 Verteilungen. Das Menü der App führt 29 davon auf und dazu 23 weitere unter „Weitere Verteilungen“. Die meisten dieser weiteren kommen in Modellen für Excel-Add-Ins vor, die xellstorm beim Import umwandelt (siehe Modell aus einem Add-In übernehmen).

Die Arbeitsmappe: jede Verteilung als Excel-Formel

Die Arbeitsmappe zu dieser Seite enthält eine Zeile je Verteilung: ihre Parameter, eine Zufallszahl aus RAND() (im deutschen Excel ZUFALLSZAHL), eine Ziehung sowie Mittelwert, P10 und P90 als Formeln. Mit F9 ändert sich jede Ziehung. In den letzten Spalten stehen dieselben Verteilungen als xellstorm-Eingangsgrößen, ein Lauf liefert also die Ziehungen von Excel und von xellstorm nebeneinander. Jeder Leitfaden dieser Website prüft die Formeln der Arbeitsmappe an 10.000 solchen Ziehungen.

examples/distributions.xlsx: eine Zeile je Verteilung, mit Mittelwert, P10 und P90, die ihre Formeln berechnen
VerteilungBeispiel und ParameterMittelwertP10P90
NormalverteilungNachfrage in der nächsten Saison (Stück)
Mittelwert 1.000, Standardabweichung 200		1.0007441.256
LognormalverteilungReparaturkosten eines Schadensfalls (USD)
Median 2.000, Streuung von ln 0,8		2.7547175.576
DreiecksverteilungKosten einer Position (Tsd. USD)
Min 80, Wahrscheinlichster Wert 100, Max 140		106,791,0124,5
PERT-VerteilungKosten einer Position (Tsd. USD)
Min 80, Wahrscheinlichster Wert 100, Max 140		103,389,2118,7
GleichverteilungStückpreis (USD)
Min 40, Max 60		504258
Weibull-VerteilungLebensdauer einer Pumpe (Stunden)
Formparameter 1,5, Skalenparameter 20.000		18.0554.46234.874
ExponentialverteilungZeit zwischen zwei Störungen (Stunden)
Mittelwert 500		500531.151
Poisson-VerteilungReklamationen in einer Woche
Mittelwert 4		427
Negative BinomialverteilungBestellungen in einer Woche, stärker schwankend
Erfolge 4, Wahrscheinlichkeit 0,5		418
Bernoulli-VerteilungEin Risiko tritt ein (1) oder nicht (0)
Wahrscheinlichkeit 0,3		0,301
BinomialverteilungFehlerhafte Einheiten in einer Charge von 50
Versuche 50, Wahrscheinlichkeit 0,04		204
Beta-VerteilungAnteil der Kunden, die verlängern
Alpha 8, Beta 2		80,0 %63,2 %93,9 %
Gamma-VerteilungTage, bis drei Reparaturen nacheinander fertig sind
Formparameter 3, Skalenparameter 2		6,02,210,6

Häufige Fehler

Leitfäden zu den einzelnen Verteilungen

Häufige Fragen

Welche Verteilung nehme ich, wenn ich keine Daten habe?

Fragen Sie die Personen, die die Größe kennen, nach einem niedrigen, einem wahrscheinlichsten und einem hohen Wert, und verwenden Sie eine PERT- oder eine Dreiecksverteilung. Sind deren niedriger und hoher Wert „Eins-zu-zehn“-Fälle und keine Grenzen, passen Sie stattdessen eine Verteilung an diese Perzentile an. Prüfen Sie danach mit den Beteiligten, was die Zahlen bedeuten (Mittelwert, P10 und P90).

Welche Verteilung eignet sich am besten für Kostenschätzungen?

Für jede Kostenposition eine PERT- oder Dreiecksverteilung aus einer Dreipunktschätzung, bei fehlendem festem Maximum eine Lognormalverteilung. Für Risiken, die eintreten können oder nicht, eine Bernoulli-Verteilung mal Auswirkung. Die Summe wird dann simuliert, nicht geschätzt: siehe das Beispiel Projekt-Risikozuschlag.

Welche Verteilung nehme ich für die Dauer von Aufgaben?

Eine PERT- oder Dreiecksverteilung aus einer Dreipunktschätzung je Aufgabe oder eine an frühere Dauern angepasste Lognormalverteilung. Beide lassen ein langes oberes Ende zu. Für den Terminplan simulieren Sie das Netzwerk der Aufgaben: siehe Terminrisikoanalyse.

Welche Verteilung nehme ich für Versicherungsschäden oder operationelle Verluste?

Modellieren Sie getrennt, wie viele Verluste ein Zeitraum bringt und wie hoch jeder einzelne ist, und lassen Sie eine zusammengesetzte Verteilung sie addieren: eine Poisson- oder negative Binomialverteilung für die Anzahl (Schadenhäufigkeit), eine Lognormal-, Gamma- oder Pareto-Verteilung für die Höhe (Schadenhöhe). Folgen die großen Verluste einem schwereren Ende als die gewöhnlichen, setzen Sie oberhalb eines Schwellenwerts eine verallgemeinerte Pareto-Verteilung an den Körper darunter. Getrennt modelliert, lässt sich jeder Teil an seinen eigenen Daten prüfen, und Selbstbehalt oder Obergrenze gelten für jeden einzelnen Verlust.

Wie simuliere ich Anteile, die zusammen 100 % ergeben?

Ziehen Sie sie gemeinsam aus einer Dirichlet-Verteilung, nicht mit einer eigenen Verteilung je Zelle: Unabhängige Anteile ergeben selten zusammen 100 %. In Excel ziehen Sie in jeder Zelle GAMMA.INV(RAND(), alpha, 1) und teilen jede Ziehung durch die Summe aller Ziehungen; in xellstorm wählen Sie für den Zellbereich „Dirichlet (Anteile an einer Summe)“.

Woran erkenne ich, ob eine Verteilung zu meinen Daten passt?

Passen Sie mehrere an und vergleichen Sie sie. „Aus Daten“ in xellstorm ordnet die Anpassungen nach dem AIC, der eine gute Anpassung belohnt und zusätzliche Parameter bestraft, und zeigt die Anpassungstests jeder Verteilung. Betrachten Sie auch das Histogramm neben der Kurve, besonders an dem Ende, das für Ihre Entscheidung zählt, und seien Sie bei kleinen Stichproben vorsichtig.

Ändert die Wahl der Verteilung die Ergebnisse stark?

Sie ändert die Enden stärker als die Mitte. Zwei Formen mit denselben drei Zahlen oder demselben Mittelwert ergeben oft ähnliche Durchschnitte, aber unterschiedliche P90-Werte und unterschiedliche Chancen, ein Budget zu überschreiten. Kommt es darauf an, führen Sie beide als Szenarien mit denselben Zufallszahlen aus und vergleichen Sie.

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