Gamma-Verteilung in Excel: Wartezeiten, Summen und GAMMA.INV
Kurz gesagt: die Gesamtzeit mehrerer Wartezeiten hintereinander, etwa von drei Reparaturen nacheinander. Allgemeiner: eine positive Größe mit einem Ende nach rechts.
Die Gamma-Verteilung beschreibt eine positive Größe mit einem Ende nach rechts, insbesondere die Gesamtzeit mehrerer zufälliger Schritte hintereinander. Ein Formparameter und ein Skalenparameter legen sie fest; ihr Mittelwert ist Formparameter × Skalenparameter. In Excel zieht =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale) daraus (RAND heißt im deutschen Excel ZUFALLSZAHL). Drei Reparaturen hintereinander, die im Mittel je 2 Tage dauern und exponentiell streuen, haben eine gammaverteilte Gesamtdauer mit dem Formparameter 3 und dem Skalenparameter 2: im Mittel 6,0 Tage, mehr als 10 Tage in 12,5 % der Fälle.
Was eine Gamma-Verteilung ist
Ausgangspunkt ist die Exponentialverteilung, die Wartezeit auf ein zufälliges Ereignis. Warten Sie auf mehrere solcher Ereignisse hintereinander, ist die Gesamtzeit gammaverteilt: Der Formparameter ist die Anzahl der Schritte, der Skalenparameter der Mittelwert eines Schritts. Der Formparameter muss keine ganze Zahl sein, wodurch die Gamma-Verteilung eine flexible Familie für jede positive, rechtsschiefe Größe wird: Niederschlag, Versicherungsschäden, Dauern, Nachfrage.
So lesen Sie das Diagramm: Jede Linie zeigt die Gesamtzeit von 1, 3 oder 8 Wartezeiten hintereinander. Bei einer Wartezeit sind kurze Zeiten am häufigsten; je mehr Wartezeiten sich addieren, desto stärker sammelt sich die Gesamtzeit um ihren Durchschnitt.
Formeln: Mittelwert, Standardabweichung, Gipfel und aus Mittelwert und Standardabweichung
| Größe | Formel und Beispiel |
|---|---|
| Mittelwert | k × θ = 6,0 Tage |
| Standardabweichung | √k × θ = 3,46 Tage |
| Gipfel (Modus) | (k − 1) × θ, für k ≥ 1 = 4,0 Tage |
| Aus Mittelwert und Standardabweichung | k = (Mittelwert / sd)², θ = sd² / Mittelwert |
Die Gamma-Verteilung in Excel
GAMMA.INV(probability, alpha, beta) nimmt den Formparameter als alpha und den Skalenparameter als beta. Manche Lehrbücher schreiben die Gamma-Verteilung stattdessen mit einer Rate, 1 / Skalenparameter; Excel verwendet den Skalenparameter, eine Rate von 0,5 pro Tag ist also ein beta von 2. In einer Zelle lautet eine Ziehung =GAMMA.INV(RAND(),D17,F17), und GAMMA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) (im deutschen Excel GAMMA.VERT) liefert die Chance auf einen Wert unter x: =1-GAMMA.DIST(10, 3, 2, TRUE) ist die Chance von 12,5 %, länger als 10 Tage zu brauchen.
| Zelle | Formel | Wert |
|---|---|---|
| Zufallszahl u (I17) | =RAND() | |
| Ziehung (J17) | =GAMMA.INV(I17, | |
| Ziehung in einer Zelle | =GAMMA.INV(RAND(), | |
| Mittelwert (K17) | =D17*F17 | 6,00 |
| P10 (L17) | =GAMMA.INV(0.1, | 2,20 |
| P90 (M17) | =GAMMA.INV(0.9, | 10,64 |
Zahlen prüfen: exakte Werte im Vergleich mit 10.000 Ziehungen aus Excel und aus xellstorm
| Exakt | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Mittelwert | 6,00 | 5,97 | 6,00 |
| Standardabweichung | 3,46 | 3,50 | 3,46 |
| P10 | 2,20 | 2,19 | 2,20 |
| P50 (Median) | 5,35 | 5,28 | 5,35 |
| P90 | 10,64 | 10,69 | 10,64 |
Excel zieht mit RAND() völlig zufällig; xellstorm verteilt seine Ziehungen gleichmäßig über den Bereich (Latin-Hypercube-Sampling), daher liegen seine Kennzahlen näher an den exakten Werten.
Gamma- oder Lognormalverteilung?
Beide sind positiv und nach rechts schief, und bei gleichem Mittelwert und gleicher Standardabweichung sehen sie in der Mitte ähnlich aus. Der Unterschied liegt im Ende: Das der Lognormalverteilung ist schwerer. Angepasst an den Mittelwert 6,0 und die Standardabweichung 3,46 der Reparaturen, ergibt eine Lognormalverteilung eine Chance von 0,6 % auf mehr als 20 Tage, die Gamma-Verteilung 0,3 %. Kommt es auf seltene, sehr große Werte an (Verluste, Überschreitungen), zählt dieser Unterschied: Passen Sie beide an Ihre Daten an und vergleichen Sie, oder wählen Sie vorsichtshalber die Verteilung mit dem schwereren Ende. Siehe Lognormalverteilung.
Eine Gamma-Verteilung in xellstorm eingeben
- Machen Sie die Zelle zur Eingangsgröße und wählen Sie im Schritt „Verteilungen“ die Verteilung „Gamma“. Geben Sie a (den Formparameter) und scale ein; loc verschiebt den Start von null weg, meist 0.
- Bei früheren Werten passt „Aus Daten“ in der Seitenleiste eine bei null beginnende Gamma-Verteilung an, neben Lognormal-, Weibull- und weiteren Formen, und ordnet sie nach ihrer Güte.
„Aus Arbeitsmappe importieren“ wandelt =GAMMA.INV(RAND(), alpha, beta) in eine gammaverteilte Eingangsgröße um; Modelle für Add-Ins werden aus RiskGamma, RiskErlang, VoseGamma und PsiGamma umgewandelt.
Häufige Fragen
Wie erzeuge ich Gamma-verteilte Zufallszahlen in Excel?
Verwenden Sie =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale), zum Beispiel =GAMMA.INV(RAND(), 3, 2) für den Mittelwert 6,0. Jede Neuberechnung zieht einen neuen Wert.
Was sind Formparameter und Skalenparameter einer Gamma-Verteilung?
Der Formparameter bestimmt die Gestalt: 1 ist eine Exponentialverteilung, größere Werte ergeben einen Buckel, der immer symmetrischer wird. Der Skalenparameter streckt ihn: Der Mittelwert ist Formparameter × Skalenparameter, die Standardabweichung √Formparameter × Skalenparameter.
Wie hängen Gamma- und Exponentialverteilung zusammen?
Eine Exponentialverteilung ist eine Gamma-Verteilung mit dem Formparameter 1. Die Summe mehrerer unabhängiger Exponentialzeiten mit demselben Mittelwert ist gammaverteilt, mit der Anzahl der Zeiten als Formparameter und diesem Mittelwert als Skalenparameter (auch Erlang-Verteilung genannt).
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