PERT-Verteilung in Excel: Formel, Mittelwert und Einsatz

Leitfaden · Stand: Oktober 2026

Eine PERT-Verteilung macht aus einer Dreipunktschätzung (min, wahrscheinlichster Wert, max) eine von min bis max gestreckte Beta-Verteilung mit dem Mittelwert (min + 4 × wahrscheinlichster Wert + max) / 6: Für den Rohbau eines Gebäudes, geschätzt mit 760, 820 und 1.010 (Tsd. USD), beträgt dieser Mittelwert 841,7. Excel hat keine PERT-Funktion, aber =BETA.INV(RAND(), α, β, min, max) zieht Werte aus einer solchen Verteilung.

Ihre Formparameter sind α = 1 + 4 × (wahrscheinlichster Wert − min) / (max − min) und β = 1 + 4 × (max − wahrscheinlichster Wert) / (max − min). Eine Dreiecksverteilung mit denselben drei Zahlen ergibt im Mittel 863,3 und streut breiter.

Was eine PERT-Verteilung ist

Eine Dreipunktschätzung nennt den niedrigsten Wert, den Sie für möglich halten, den wahrscheinlichsten und den höchsten. Eine PERT-Verteilung macht aus diesen drei Zahlen einen vollständigen Bereich möglicher Ergebnisse: nichts unter dem Minimum oder über dem Maximum, ein Gipfel beim wahrscheinlichsten Wert und ein sanftes Abfallen zu beiden Enden, sodass Werte nahe den Grenzen zwar möglich, aber selten sind.

Mathematisch ist sie eine Beta-Verteilung: eine Verteilungsfamilie auf einem festen Intervall, deren Form zwei positive Zahlen festlegen, α (Alpha) und β (Beta); das Intervall von 0 bis 1 wird dabei auf min bis max gestreckt. PERT wählt α und β so, dass der Gipfel auf dem wahrscheinlichsten Wert liegt und der Mittelwert (min + 4 × wahrscheinlichster Wert + max) / 6 beträgt: Der wahrscheinlichste Wert zählt vierfach, jede Grenze einfach. Das Gewicht 4 stammt aus PERT (Program Evaluation and Review Technique), einer Methode der Projektterminplanung. Sie wurde Ende der 1950er-Jahre für das Polaris-Raketenprogramm der US-Marine entwickelt und schätzte die erwartete Dauer jeder Tätigkeit als (optimistisch + 4 × wahrscheinlichst + pessimistisch) / 6. Im Projektmanagement heißt dieser Ausdruck bis heute PERT- oder Dreipunktschätzung; er ist der Mittelwert dieser Verteilung.

Der Mittelwert, 841,7, liegt über dem wahrscheinlichsten Wert, weil der Bereich darüber weiter reicht (820 bis 1.010) als darunter (760 bis 820). Kosten- und Dauerschätzungen sind meist so schief verteilt, weshalb eine Summe der wahrscheinlichsten Kosten optimistisch ist, wie das Beispiel Projekt-Risikozuschlag zeigt. Die ältere PERT-Faustformel für die Standardabweichung, (max − min) / 6, ist nur eine Näherung: hier 41,7, gegenüber 44,3 aus der Formel oben.

Die PERT-Formel in Excel

Excel hat keine PERT-Funktion, aber BETA.INV(probability, alpha, beta, A, B) liefert Werte einer Beta-Verteilung, die auf ein beliebiges Intervall von A bis B gestreckt ist. Mit Min, wahrscheinlichstem Wert und Max einer Schätzung in den Zellen B2, C2 und D2:

Mit RAND() als Wahrscheinlichkeit zieht jede Neuberechnung einen neuen Wert. Mit einer festen Wahrscheinlichkeit liefert BETA.INV dieses Perzentil direkt, ohne Simulation: 0,9 ergibt für den Rohbau 904,1 und 0,1 ergibt 786,9. BETAINV, der Name in Excel 2007 und früher, hat dieselben Argumente. Min und Max müssen sich unterscheiden, da beide Formeln für die Formparameter durch max − min teilen.

Ein Perzentil einer Position ist nicht das Perzentil einer Summe: Die P90-Werte mehrerer Positionen addieren sich nicht zum P90 ihrer Summe (siehe P50, P80 und P90). Für eine Summe brauchen Sie eine Simulation, und in reinem Excel müssen Sie dafür Tausende Neuberechnungen sammeln, zum Beispiel mit einer Datentabelle, wie Monte-Carlo-Simulation in Excel erklärt.

PERT und Dreiecksverteilung: dieselben drei Zahlen, andere Ergebnisse

Eine Dreiecksverteilung geht von denselben drei Zahlen aus, ihre Dichte steigt aber geradlinig vom Min zum wahrscheinlichsten Wert und fällt geradlinig zum Max ab. Ihr Mittelwert ist (min + wahrscheinlichster Wert + max) / 3: Der wahrscheinlichste Wert zählt einfach statt vierfach, sodass die ferne Grenze den Mittelwert stärker zieht. Für den Rohbau sind das 2.590 / 3 = 863,3, etwa 22 über den 841,7 der PERT-Verteilung. Ihre Standardabweichung, √((min² + ml² + max² − min × ml − min × max − ml × max) / 18), beträgt 53,3 gegenüber 44,3 bei PERT.

Wie sich das in einem Modell auswirkt, zeigt ein Vergleich: Wir haben die 5.000 Iterationen des Bau-Beispiels zweimal mit demselben Seed ausgeführt, einmal wie veröffentlicht, mit dem Rohbau als PERT-Verteilung, und einmal mit dem Rohbau als Dreiecksverteilung mit denselben drei Zahlen. Jede andere Eingangsgröße zieht in beiden Läufen genau dieselben Werte, und der Rohbau bekommt in jeder Iteration dieselbe Zufallszahl. Die Läufe unterscheiden sich also nur in der Form dieser einen Verteilung.

Die Ziehungen stimmen bis zur gezeigten Dezimalstelle mit den Formeln überein: Ihre Mittelwerte sind 841,7 und 863,3. Dazu trägt Latin-Hypercube-Sampling bei, die Voreinstellung von xellstorm: Es zieht für jede Eingangsgröße genau einmal aus jedem von 5.000 gleich wahrscheinlichen Abschnitten ihres Bereichs. Die Dreiecksverteilung ist breiter: Ihr P10-bis-P90-Bereich ist 142,4 breit, gegenüber 117,2 bei PERT, und 23,6 % ihrer Ziehungen liegen über dem P90 der PERT-Verteilung von 904,1; bei der PERT-Verteilung selbst sind es 10 %. Auf beiden Seiten breiter ist sie jedoch nicht: Nahe dem Min hat die PERT-Verteilung mehr Ziehungen, und das P10 der Dreiecksverteilung liegt höher, 798,7 gegenüber 786,9. Liegt der wahrscheinlichste Wert nahe am unteren Ende, verlagert die Dreiecksverteilung Gewicht in das lange obere Ende; bei einer symmetrischen Schätzung würde sie beiden Enden mehr Gewicht geben.

Schon eine von sechs Positionen verschiebt die Summe. Mit dem Rohbau als Dreiecksverteilung steigt der Mittelwert der Gesamtkosten von 2.785 auf 2.806, um genau so viel wie der Mittelwert der Position (alle anderen Ziehungen sind gleich); der P90 steigt um 27, und die Wahrscheinlichkeit, das Budget von 2.900 zu überschreiten, von 16,1 % auf 20,8 %.

Keine der beiden Formen ist richtig oder falsch: Es sind zwei Lesarten derselben drei Zahlen. Wählen Sie bewusst eine aus und sagen Sie dazu, auf welcher das Budget beruht.

Wann PERT, Dreieck oder Lognormal

• PERT für Expertenschätzungen, bei denen Sie dem wahrscheinlichsten Wert am meisten vertrauen: Kosten, Dauern und Mengen mit bekannter Unter- und Obergrenze. Der Mittelwert bleibt nahe am wahrscheinlichsten Wert, und die Grenzen werden selten erreicht, passend für ein Min und ein Max, die Schranken sein sollen, die Sie nicht zu erreichen erwarten.
• Dreieck, wenn Werte nahe den Grenzen realistisch sind oder wenn Sie aus denselben drei Zahlen eine vorsichtigere Streuung wollen: Bei einer schiefen Schätzung legt sie mehr Gewicht auf die lange Seite, sodass Mittelwert und obere Perzentile höher liegen. Außerdem ist sie leicht zu erklären: Ihre Dichte besteht aus zwei Geraden.
• Lognormal, wenn es kein festes Maximum gibt: Kosten, Verluste oder Dauern, die um ein Vielfaches überschritten werden können, und andere Größen, die nicht unter null fallen können, aber ein langes rechtes Ende haben. Ihre Parameter sind ein typischer Wert und eine Streuung, keine Grenzen.
• Eine angepasste Verteilung, wenn die drei Zahlen gar keine Grenzen sind. Stehen das „Niedrig“ und „Hoch“ einer Expertenschätzung für je einen von zehn Fällen (P10 und P90), lässt eine PERT-Verteilung, die sie als Min und Max verwendet, die 20 % der Ergebnisse jenseits davon außen vor; passen Sie stattdessen eine Verteilung an die Perzentile an. Bei historischen Daten passen Sie sie an die Daten an.

Symmetrische Abweichungen um einen Sollwert, etwa ein gefertigtes Maß, sind meist normalverteilt, wie im Beispiel Toleranzkettenrechnung.

Eine PERT-Verteilung in xellstorm eingeben

xellstorm berechnet die Datei im Browser und führt die Verteilungen getrennt davon, die Datei braucht also keine BETA.INV-Formeln:

1. Öffnen Sie die Datei, klicken Sie auf der Modellkarte eine unsichere Zelle an und wählen Sie „Make input“. Eine neue Eingangsgröße startet als PERT-Verteilung von 90 % bis 110 % des gespeicherten Zellwerts.
2. Lassen Sie im Schritt „Distributions“ in der Spalte „Distribution“ PERT stehen und tippen Sie Min, wahrscheinlichen Wert und Max ein. Die Spalten „Shape“, „Mean“ und „P10 – P90“ ändern sich beim Tippen mit, Sie sehen also schon vor dem Lauf, was die drei Zahlen bedeuten.
3. Stehen die Schätzungen schon in der Datei, in Zellen mit den Beschriftungen Min, Likely und Max (oder Low, Base und High) neben der Eingangsgröße, erscheint in der Seitenleiste „Link to these cells“. Die PERT-Verteilung liest sie dann vor jedem Lauf; Änderungen im Tabellenblatt gelten also auch, wenn Sie die geänderte Datei öffnen und das gespeicherte Projekt anwenden. Das Beispiel Risikoregister arbeitet so.
4. Sind Ihr Niedrig und Hoch keine Grenzen, sondern P10 und P90, geben Sie beide zusammen mit dem typischen Wert als P50 in der Seitenleiste unter „Fit from estimates“ ein und wählen Sie „PERT“, „Normal“, „Lognormal“ oder „Triangular“ als Form. xellstorm sucht die nächstliegende Verteilung dieser Form und zeigt den Anpassungsfehler. Der Tab „From data“ passt stattdessen eine Verteilung an historische Werte an.
5. Für den Formvergleich legen Sie ein Szenario an, in dem die Verteilung der Eingangsgröße „Triangular“ ist, und tippen dieselben drei Zahlen ein. Szenarien laufen mit denselben Zufallszahlen, und der Schritt „Results“ vergleicht jedes mit dem Basisfall.

Dateien, die für @RISK, ModelRisk oder Analytic Solver gebaut wurden, enthalten oft PERT-Funktionen (RiskPert, VosePERT, PsiPert). „Import from workbook“ macht aus einer einzelnen Funktion oder aus einer, die mit einem positiven Faktor multipliziert und höchstens um einen Summanden ergänzt wird, eine Eingangsgröße; VosePERT(E7,1,F7)*D7 ist ein Beispiel. Argumente und Faktoren, die Zellen verwenden, bleiben samt ihren Rechenschritten verknüpft und werden nach dem Setzen der festen Zellen jedes Szenarios erneut gelesen. Auch die oben gezeigte BETA.INV-Formel wird in eine gleichwertige Beta-Eingangsgröße umgewandelt: Die beiden Berechnungen der Formparameter sowie Min und Max bleiben mit den Zellen verknüpft. Weil die Formel ausdrücklich teilt, müssen Min und Max weiterhin verschieden sein. Eine PERT-Eingangsgröße, deren Min, wahrscheinlichster Wert und Max alle gleich sind, zieht genau diesen einen Wert.

Häufige Fragen

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