Gleichverteilung in Excel: Zufallszahlen zwischen zwei Werten
Kurz gesagt: Jeder Wert zwischen einem Minimum und einem Maximum ist gleich wahrscheinlich, wie bei einem Würfelwurf, der über einen ganzen Bereich gestreckt ist.
Eine Gleichverteilung macht jeden Wert zwischen einem Minimum und einem Maximum gleich wahrscheinlich. In Excel zieht =min + (max - min) * RAND() daraus (RAND heißt im deutschen Excel ZUFALLSZAHL), und RANDBETWEEN(min, max) (ZUFALLSBEREICH) zieht ganze Zahlen. Für einen Stückpreis zwischen 40 und 60 (USD) beträgt der Mittelwert 50, das P10 42 und das P90 58.
Was eine Gleichverteilung ist
Zwei Zahlen legen sie fest: den niedrigsten und den höchsten möglichen Wert. Dazwischen ist die Dichte flach, jedes Stück des Bereichs erhält also einen Anteil der Ergebnisse im Verhältnis zu seiner Breite: Bei einer Spanne von 20 entfällt auf jede Einheit 5,0 % der Ergebnisse, und das P10 liegt ein Zehntel des Weges vom Minimum entfernt.
So lesen Sie das Diagramm: Jeder Balken zählt, wie viele der 10.000 simulierten Werte in diesen Abschnitt fielen; die Linie ist die theoretische Kurve. Je höher der Balken, desto öfter landen Werte dort. Hier sind die Balken alle etwa gleich hoch: Kein Teil des Bereichs wird bevorzugt.
Formeln: Mittelwert, Standardabweichung, Perzentile
| Größe | Formel und Beispiel |
|---|---|
| Mittelwert und Median | (min + max) / 2 = 50 |
| Standardabweichung | (max − min) / √12 = 20 / 3,464 = 5,77 |
| Perzentil p | min + p × (max − min) P10 = 42, P90 = 58 |
Die Gleichverteilung in Excel
RAND() selbst ist zwischen 0 und 1 gleichverteilt. Streckt man es auf einen beliebigen Bereich, ergibt das eine gleichverteilte Ziehung: in einer Zelle =D9+(F9-D9)*RAND(), mit dem Minimum in D9 und dem Maximum in F9. Für ganze Zahlen liefert RANDBETWEEN(min, max) eine ganze Zahl von min bis max, beide eingeschlossen.
| Zelle | Formel | Wert |
|---|---|---|
| Zufallszahl u (I9) | =RAND() | |
| Ziehung (J9) | =D9+(F9-D9)*I9 | |
| Ziehung in einer Zelle | =D9+(F9-D9)*RAND() | |
| Mittelwert (K9) | =(D9+F9)/2 | 50 |
| P10 (L9) | =D9+(F9-D9)*0.1 | 42 |
| P90 (M9) | =D9+(F9-D9)*0.9 | 58 |
Zahlen prüfen: exakte Werte im Vergleich mit 10.000 Ziehungen aus Excel und aus xellstorm
| Exakt | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Mittelwert | 50,00 | 49,96 | 50,00 |
| Standardabweichung | 5,77 | 5,78 | 5,77 |
| P10 | 42,00 | 41,97 | 42,00 |
| P50 (Median) | 50,00 | 49,91 | 50,00 |
| P90 | 58,00 | 57,95 | 58,00 |
Excel zieht mit RAND() völlig zufällig; xellstorm verteilt seine Ziehungen gleichmäßig über den Bereich (Latin-Hypercube-Sampling), daher liegen seine Kennzahlen näher an den exakten Werten.
Wann eine Gleichverteilung passt
Verwenden Sie sie, wenn Sie einen Bereich kennen und sonst nichts: Kein Wert darin ist plausibler als ein anderer. Das kommt seltener vor, als es scheint. Würden Sie eher auf die Mitte als auf die Grenzen wetten, bildet das eine Dreiecksverteilung oder PERT-Verteilung ab. Im selben Bereich von 40 bis 60 legt eine Dreiecksverteilung mit Gipfel bei 50 75,0 % der Ergebnisse zwischen 45 und 55; die Gleichverteilung legt dorthin nur 50,0 %, und ihre Standardabweichung beträgt 5,77 gegenüber 4,08.
- Gute Einsatzfälle: ein Wert, der irgendwo in einem bekannten Fenster landet (eine Ankunft innerhalb einer Stunde, eine Position entlang eines Bauteils), ein Parameter, den Sie über einen plausiblen Bereich durchlaufen lassen, um zu sehen, wie viel er ausmacht, oder ein erster Entwurf eines Modells, bevor bessere Schätzungen vorliegen.
- Schlechte Einsatzfälle: Kosten und Dauern, bei denen die Extreme unwahrscheinlicher sind als die Mitte, und alles ohne feste Grenzen.
Eine Gleichverteilung in xellstorm eingeben
- Machen Sie die Zelle zur Eingangsgröße, wählen Sie im Schritt „Verteilungen“ den Eintrag „Gleichverteilung“ und geben Sie „min“ und „max“ ein. Für ganze Zahlen wählen Sie „Ganzzahlige Gleichverteilung“.
- Bei früheren Werten vergleicht „Aus Daten“ in der Seitenleiste die Gleichverteilung mit anderen Formen, sodass Sie sehen, ob die Daten wirklich gleichmäßig verteilt sind.
„Aus Arbeitsmappe importieren“ wandelt Zellen wie =a + (b - a)*RAND() in gleichverteilte Eingangsgrößen und RANDBETWEEN(a, b) in ganzzahlig gleichverteilte Eingangsgrößen um; Modelle für Add-Ins werden aus RiskUniform, VoseUniform und PsiUniform umgewandelt.
Häufige Fragen
Wie erzeuge ich in Excel eine Zufallszahl zwischen zwei Werten?
Verwenden Sie =min + (max - min) * RAND(), zum Beispiel =40 + (60 - 40) * RAND() für einen Wert zwischen 40 und 60. Für ganze Zahlen nehmen Sie =RANDBETWEEN(40, 60). Beide ziehen neu, sobald das Tabellenblatt neu berechnet wird.
Wie groß sind Mittelwert und Standardabweichung einer Gleichverteilung?
Der Mittelwert ist die Mitte, (min + max) / 2, und die Standardabweichung ist (max − min) / √12, etwa das 0,29-Fache der Breite. Von 40 bis 60: Mittelwert 50, Standardabweichung 5,77.
Gleich- oder Dreiecksverteilung?
Nehmen Sie die Gleichverteilung, wenn kein Wert im Bereich wahrscheinlicher ist als ein anderer; nehmen Sie die Dreiecksverteilung oder PERT, wenn Sie einen wahrscheinlichsten Wert haben. Für denselben Bereich streut die Gleichverteilung stärker: Ihre Standardabweichung beträgt 5,77 gegenüber 4,08 bei einer Dreiecksverteilung mit Gipfel in der Mitte.
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