Beta-Verteilung in Excel: unsichere Anteile, Raten und Prozentsätze
Kurz gesagt: ein unsicherer Prozentsatz, zum Beispiel eine Verlängerungsquote. Er bleibt immer zwischen 0 % und 100 %; zwei Zahlen legen fest, wo er im Mittel liegt und wie sicher Sie sich sind.
Die Beta-Verteilung beschreibt einen unsicheren Anteil, eine Rate oder einen Prozentsatz: einen Wert, der zwischen 0 und 1 bleiben muss, etwa eine Verlängerungsquote, einen Marktanteil oder eine Ausbeute. Zwei Formparameter, alpha und beta, legen sie fest; ihr Mittelwert ist alpha / (alpha + beta). In Excel zieht =BETA.INV(RAND(), alpha, beta) daraus (RAND heißt im deutschen Excel ZUFALLSZAHL). Eine Verlängerungsquote mit alpha 8 und beta 2 liegt im Mittel bei 80,0 %, mit einem P10 von 63,2 % und einem P90 von 93,9 %.
Was eine Beta-Verteilung ist
Eine Normalverteilung ließe einen Prozentsatz unter 0 % fallen oder über 100 % steigen. Eine Beta-Verteilung kann das nicht: Sie lebt auf dem Intervall von 0 bis 1, und ihre beiden Formparameter biegen sie zu fast jedem Buckel darin. Je größer alpha im Vergleich zu beta ist, desto näher liegen die Werte bei 1; je größer beide sind, desto schmaler ist der Buckel.
So lesen Sie das Diagramm: Jede Linie gehört zu einem Paar aus alpha und beta. Wo eine Linie ihren Gipfel hat, liegt der Prozentsatz am wahrscheinlichsten; ein schmaler Gipfel bedeutet mehr Sicherheit.
Formeln: Mittelwert, Gipfel, Standardabweichung
| Größe | Formel und Beispiel |
|---|---|
| Mittelwert | α / (α + β) = 8 / 10 = 80,0 % |
| Gipfel (Modus) | (α − 1) / (α + β − 2) = 87,5 % |
| Standardabweichung | √(α β / ((α + β)² (α + β + 1))) = 12,1 % |
| Chance unter 60 % | =BETA.DIST(0.6, 8, 2, TRUE)= 7,1 % |
Alpha und beta aus Mittelwert und Standardabweichung bestimmen
Nur wenige Menschen denken in Alpha und Beta. Wenn Sie sagen können „etwa 80 %, plus oder minus 10 Punkte“ (ein Mittelwert von 0,8 und eine Standardabweichung von 0,1), ergeben sich die Parameter von selbst: α + β = Mittelwert × (1 − Mittelwert) / sd² − 1 = 15, dann α = Mittelwert × 15 = 12 und β = 3. Diese Beta-Verteilung ist schmaler als die obige (Standardabweichung 12,1 %): Ihr P10 – P90 reicht von 66,3 % bis 91,9 %. Eine nützliche Lesart von α + β: Die Summe verhält sich wie die Zahl der Beobachtungen hinter der Schätzung, sodass eine Rate, die in wenigen Fällen beobachtet wurde, eine breite Beta-Verteilung ergibt und eine in Hunderten Fällen beobachtete eine schmale.
Die Beta-Verteilung in Excel
BETA.INV(probability, alpha, beta, [A], [B]) liefert ein Perzentil, mit RAND() eine Zufallsziehung: =BETA.INV(RAND(),D16,F16). Die optionalen A und B strecken die Verteilung auf ein anderes Intervall, etwa 20 bis 60 Tage; so wird auch eine PERT-Verteilung gezogen, denn sie ist eine von min bis max gestreckte Beta-Verteilung. BETA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) (im deutschen Excel BETA.VERT) liefert die Chance auf einen Wert unter x.
| Zelle | Formel | Wert |
|---|---|---|
| Zufallszahl u (I16) | =RAND() | |
| Ziehung (J16) | =BETA.INV(I16, | |
| Ziehung in einer Zelle | =BETA.INV(RAND(), | |
| Mittelwert (K16) | =D16/(D16+F16) | 80,0 % |
| P10 (L16) | =BETA.INV(0.1, | 63,2 % |
| P90 (M16) | =BETA.INV(0.9, | 93,9 % |
Zahlen prüfen: exakte Werte im Vergleich mit 10.000 Ziehungen aus Excel und aus xellstorm
| Exakt | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Mittelwert | 80,0 % | 79,9 % | 80,0 % |
| Standardabweichung | 12,1 % | 12,1 % | 12,1 % |
| P10 | 63,2 % | 62,6 % | 63,2 % |
| P50 (Median) | 82,0 % | 81,9 % | 82,0 % |
| P90 | 93,9 % | 93,8 % | 93,9 % |
Excel zieht mit RAND() völlig zufällig; xellstorm verteilt seine Ziehungen gleichmäßig über den Bereich (Latin-Hypercube-Sampling), daher liegen seine Kennzahlen näher an den exakten Werten.
Wann eine Beta-Verteilung passt
- Raten und Anteile: Konversions-, Verlängerungs- und Zahlungsausfallraten, Marktanteile, Ausbeuten, der Anteil eines Budgets, der pünktlich ausgegeben wird.
- Jede beschränkte Größe, deren Form Sie steuern wollen, auf ihr Intervall gestreckt; für ein Min, einen wahrscheinlichsten Wert und ein Max erledigt das PERT für Sie.
Eine Beta-Verteilung in xellstorm eingeben
- Machen Sie die Zelle zur Eingangsgröße und wählen Sie im Schritt „Verteilungen“ die Verteilung „Beta“. Geben Sie a und b ein (alpha und beta); loc ist das untere Ende und scale die Breite des Intervalls, bei einem Anteil 0 und 1.
- Bei früheren Raten passt „Aus Daten“ in der Seitenleiste eine Beta-Verteilung an Werte zwischen 0 und 1 an; für ein anderes Intervall geben Sie es unter „Beta: bekannter Bereich“ ein und passen erneut an.
„Aus Arbeitsmappe importieren“ wandelt =BETA.INV(RAND(), alpha, beta), mit oder ohne A und B, in eine Beta-verteilte Eingangsgröße um; Modelle für Add-Ins werden aus RiskBeta, RiskBetaGeneral, VoseBeta und PsiBeta umgewandelt.
Häufige Fragen
Wie erzeuge ich Beta-verteilte Zufallszahlen in Excel?
Verwenden Sie =BETA.INV(RAND(), alpha, beta), zum Beispiel =BETA.INV(RAND(), 8, 2) für einen Anteil mit dem Mittelwert 80,0 %. Eine untere und eine obere Grenze als viertes und fünftes Argument ergeben Ziehungen auf einem anderen Intervall.
Was bedeuten alpha und beta?
Ihr Verhältnis legt die Mitte fest, ihre Summe die Sicherheit. Der Mittelwert ist α / (α + β); je größer α + β, desto schmaler die Verteilung. α = β ergibt eine um 50 % symmetrische Form; α = β = 1 ist zwischen 0 und 1 gleichverteilt.
Wie wähle ich alpha und beta aus Mittelwert und Standardabweichung?
Berechnen Sie k = Mittelwert × (1 − Mittelwert) / sd² − 1, dann α = Mittelwert × k und β = (1 − Mittelwert) × k. Für einen Mittelwert von 0,8 und eine Standardabweichung von 0,1: k = 15, α = 12, β = 3. Die Standardabweichung muss unter √(Mittelwert × (1 − Mittelwert)) liegen, sonst gibt es keine Beta-Verteilung.
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