直列系が1年以内に故障する確率はどのくらいか？

例題 · 設備の信頼性 · 2026年10月更新

この例では、新品の機器の79.0%が、連続運転の最初の1年（8,760時間）以内に故障します。4部品を直列につないだ機器は、最初の部品が故障した時点で止まるので、丸1年動くのは4つの部品がすべてもつ場合だけです。20,000台のモンテカルロシミュレーションでは78.97%で、理論値は79.05%です。

4つの部品はポンプ、モーター、シール、ベアリングで、寿命はそれぞれワイブル分布です。1年以内に故障する理論上の確率は、1 − Π exp(−(t/scale)^shape) = 79.05%です（積は4つの部品について取ります）。平均寿命は5,712時間（理論値：5,696時間）で、機器の10%は1,091時間以内に故障します。尺度が最も短く、形状が1に近いシールは、機器の71.0%で最初に故障します。

モデル

シートはFleetの1枚だけで、部品ごとに1行（2〜5行目にPump、Motor、Seal、Bearing）あります。各行には、部品のワイブル形状（B列）、尺度（時間、C列）、「Life (h)」セル（D列）が入っています。あとは2つの数式だけです。D7の「System life (h)」は=MIN(D2:D5)で、部品は直列なので、最初の故障で機器が止まります。D8の「Fails within a year」は=IF(D7<8760,1,0)で、8,760時間（昼夜連続運転の1年）以内に故障すれば1、そうでなければ0です。アドインの関数は使っていません。

シミュレーションでは、各「Life」セルを、その行の形状と尺度のワイブル分布から引く入力にし、D7とD8を出力にします。この分布は、サンプルをxellstormで開くと読み込まれる設定に入っています。形状と尺度はB列・C列と同じ数値を直接入力してあり、セルにはリンクしていません。そのため、ExcelでB列やC列を書き換えても、シミュレーションは変わりません。ダウンロードするファイルでは、各Lifeセルに仮の値として部品の尺度が入っていて、試行のたびに、引いた寿命で置き換わります。目標も1つ設定してあり、システム寿命が8,760時間未満であることです。

各部品の数値は、形状と尺度から決まります。1年以内に故障する確率は、その部品だけで動いたとして、次の節の生存確率の式で求めます。平均寿命は、生存曲線の下の面積として求めます。

理論値：生存確率を掛け合わせる

ワイブル分布の寿命には2つのパラメーターがあります。尺度は、形状にかかわらず、部品の63.2%が故障するまでの時間です。形状は、故障率が時間とともにどう変わるかを表します。1未満なら下がり（初期故障）、1なら一定（偶発故障、指数分布）、1より大きいと摩耗に伴って上がります。時間tの時点で部品がまだ動いている確率は exp(−(t/scale)^shape) です。

直列系ではすべての部品が生き残る必要があるので、部品が互いに独立なら、生存確率は掛け合わせます。1年後にまだ動いている確率は、ポンプが74.8%、モーターが91.8%、シールが32.8%、ベアリングが93.0%です。この積20.95%が、機器が丸1年動き続ける確率なので、1年以内に故障する確率は79.05%です。1つの式にすると、P(failure by t) = 1 − exp(−Σ (t/scale)^shape) です。

平均故障時間（MTTF）は、システムの生存曲線の下の面積で、exp(−Σ (t/scale)^shape)を0から無限大まで積分した値です。形状が異なる部品が混在すると単純な閉形式はありませんが、数値積分で5,696時間と求まります。これはどの部品の平均寿命よりも、シールの7,525時間よりも短い値です。機器は4つの故障のうち最も早いもので止まるからです。

結果

シミュレーションでは、試行ごとに4部品それぞれの寿命を引き、モデルが最小値を取り、それを数えます。20,000回の試行で、理論値を再現できます。1年以内に故障する機器の割合は、シミュレーションが78.97%、理論値が79.05%で、差はシミュレーションの標準誤差（0.29パーセントポイント）より小さい値です。シミュレーションの平均5,712時間も、理論値5,696時間から標準誤差（30時間）以内です。

システム寿命のP10は、B10寿命とも呼ばれ、機器の10%が故障するまでの時間です。ここでは1,091時間、連続運転で約45日にあたり、平均よりはるかに短い値です。寿命の分布は右に裾が長いので、機器の半数は、平均の5,712時間より前の4,769時間以内に故障します。パーセンタイルの読み方はP50、P80、P90を参照してください。

システムを止める部品

各試行で、寿命が最も短い部品が、機器を止めた部品です。これを数えると、各部品が故障全体に占める割合がわかります。理論上の割合は、その部品の故障率とシステムの生存確率の積を、すべての時間にわたって積分したものです。

シールが最初に故障する機器は71.0%（理論値：70.8%）で、最初の1年以内に故障する機器に限ると74.5%（理論値：74.2%）です。次がポンプの18.0%です。試行の順位から推定したxellstormの分散寄与率（アプリの表示と同じもの）も、同じ結果を示します。入力が説明するシステム寿命のばらつきのうち、シールが92.3%を占め、ポンプの7.1%を大きく上回ります。入力を1つずつP10とP90に動かし、ほかを中央値に置くトルネード図では、システム寿命を動かすのはシールとポンプだけです。モーターとベアリングは、自身のP10でも、中央値のシールより長くもちます。トルネード図と感度分析も参照してください。

シールが支配的な理由：偶発故障に近い

シールが弱点になる理由は2つあります。1つは、尺度が8,000時間と4つの中で最も短く、1年にも満たないことです。シール単体でも、1年以内に67.2%の確率で故障します。もう1つは、形状が1.2と最も1に近いことです。故障率が時間とともに緩やかにしか上がらず、偶発故障の一定の故障率に近くなります。1年使ったシールが次の1年に故障する確率は、新品よりわずかに高いだけです（下の表を参照）。形状が2.5のベアリングは、早期にはほとんど故障しません。故障は摩耗とともに現れますが、その頃には多くの機器で別の部品が先に故障しています。ベアリングが機器を止めるのは5.3%にとどまります。

保全で打てる手は、形状によって変わります。新品の部品と、すでに1年故障せずに動いた部品を比べます。

1年生き残ったシールが次の1年に故障する確率は76.5%で、新品のシールの67.2%とほとんど変わらず、使った年数はあまり効いていません。1年生き残ったベアリングは、次の1年に故障する確率が新品の4.1倍です（28.7%に対して7.0%）。決まった年数で部品を交換して効果が出るのは、ベアリングのように摩耗する部品です。故障が偶発に近い部品は、新品にしても、古い部品とほとんど安全性が変わりません。

保全担当者ならどう使うか

• 対策はシールに集中する。シールが故障しなければ、1年以内に故障する確率は79.0%から36.0%（理論値：36.1%）に下がります。ほかの3部品だけの場合の値で、シールの改善で得られる効果の上限です。ほかのどの部品の改善よりも、はるかに大きな効果です。
• 形状で対策を選ぶ。動いているシールを計画的に交換しても、効果は小さいままです。シールで打てる手は、寿命の長いシールへの変更（尺度を大きくする）、機器が止まる前に漏れを見つける状態監視、1回の停止を短くする予備品と迅速な交換手順です。年数に基づく交換が向くのは、摩耗する部品です。
• 購入前に変更を試す。xellstormでシナリオを追加し、シールの分布を変えます（たとえば、寿命の長い供給元のシールの形状と尺度にします）。そのうえで、1年以内に故障する確率を比べます。シナリオは基準ケースと同じ乱数を使うので、差はサンプリングノイズではなく、変更そのものによります。
• ほかの疑問はS字カーブから読み取る。S字カーブは、新品の機器が任意の時間までに故障している確率を示します。新品の機器の故障が10%以下にとどまる最長の保証期間は、B10寿命の1,091時間です。

モデルの前提

4つの寿命は互いに独立で、すべての部品が新品から始まり、機器は昼夜連続で動くものとします。このページの確率は、新品の機器が最初の1年以内に初めて止まる確率です。修理後はほかの部品が新品ではなくなるため、1年あたりの停止回数を求めるには修理のモデルが必要です。Excelファイルなら、セルを増やして持たせられます。共通の原因、たとえばシールとベアリングの寿命をともに縮める汚染は、それぞれの入力の順位相関でモデル化できます。形状と尺度は故障データから得られ、それ自体も不確かです。故障した部品の寿命を観測している場合は、「Distributions」ステップの各入力の隣にある「From data」タブで、ワイブル分布などを最尤法で当てはめられます。ただし、すべての値を寿命が尽きたものとして扱うので、まだ動いている機器（打ち切りデータ）は使えません。故障だけに当てはめると寿命を過小評価し、動いている機器が多いほどその度合いは大きくなります。その場合は、打ち切りを扱える方法で形状と尺度を推定し、手で入力してください。

試してみる

1. このモデルをxellstormで開きます。4つの「Life」セルが入力、D7とD8が出力で、システム寿命が8,760時間未満であることが目標です。インストールも登録も不要で、Excelファイルはブラウザー内で計算します。
2. 実行します。シードと20,000回の試行を同じにすれば、このページと同じ数値になります。システム寿命の結果には、平均、目標の確率（79.0%）、P10（1,091）、寿命が短い方から5%の平均が表示され、パーセンタイル表にはP1〜P99が並びます。
3. S字カーブにカーソルを合わせると、機器が任意の時間までに故障している確率が表示されます。確率ボックスに、保証期間や計画オーバーホールの間隔などの期間を入力すれば、それより前に故障する確率がわかります。
4. 「Distributions」ステップで、シールの尺度を変えるか、より良いシールのシナリオを追加して、もう一度実行すると、1年以内に故障する確率がどう動くかがわかります。
5. シミュレーションがシートから形状と尺度を読み込むようにするには、ポンプの形状欄に=B2、尺度欄に=C2と入力し、ほかの行も同様にします。そのうえで、お手元の信頼性モデルを開き、モデルマップで不確かなセルをクリックしてください。

普通のExcelでもできますか？

理論値なら、できます。ワイブル分布の寿命を持つ直列系では、このファイルの=1-EXP(-SUMPRODUCT((8760/C2:C5)^B2:B5))が1年以内に故障する確率を、=WEIBULL.DIST(8760,B4,C4,TRUE)がシール単体の確率を返します。シミュレーションには、各Lifeセルにランダムな寿命、つまり=C2*(-LN(1-RAND()))^(1/B2)（ワイブル分布関数の逆関数）を入れ、計算を繰り返すデータテーブルと、結果をまとめる数式が必要です。方法はExcelでのモンテカルロシミュレーションをご覧ください。冗長なポンプや、停止ごとの修理時間とコストのように、モデルが最初の故障を取るだけでは済まなくなると、理論式は使えません。Excelファイルのシミュレーションなら、数式が計算するものは何でも扱えます。

よくある質問

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