Wie wahrscheinlich fällt ein Reihensystem innerhalb eines Jahres aus?

Praxisbeispiel · Anlagenzuverlässigkeit · Stand: Oktober 2026

In diesem Beispiel fallen 79,0 % der neuen Geräte schon im ersten Jahr Dauerbetrieb (8.760 Stunden) aus: Ein Gerät aus vier in Reihe geschalteten Komponenten steht beim ersten Ausfall einer Komponente still und läuft nur dann ein volles Jahr, wenn alle vier Teile durchhalten. Eine Monte-Carlo-Simulation mit 20.000 Geräten ergibt 78,97 %, die exakte Lösung 79,05 %.

Die vier Komponenten sind eine Pumpe, ein Motor, eine Dichtung und ein Lager, jeweils mit Weibull-verteilter Lebensdauer. Die exakte Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb eines Jahres beträgt 1 − Π exp(−(t/Skala)^Form) = 79,05 %, das Produkt läuft über die vier Teile. Die mittlere Lebensdauer beträgt 5.712 Stunden (exakt: 5.696), und 10 % der Geräte fallen innerhalb von 1.091 Stunden aus. Die Dichtung mit der kürzesten Skala und einer Form nahe 1 ist in 71,0 % der Geräte das Teil, das als Erstes ausfällt.

Das Modell

Die Datei hat ein Tabellenblatt, „Fleet“, mit einer Zeile je Komponente: Pump, Motor, Seal und Bearing in den Zeilen 2 bis 5. Jede Zeile enthält die Weibull-Form der Komponente (Spalte B), ihre Skala in Stunden (Spalte C) und eine Zelle „Life (h)“ (Spalte D). Zwei Formeln erledigen den Rest. „System life (h)“ in D7 ist =MIN(D2:D5): Die Komponenten liegen in Reihe, das Gerät bleibt also beim ersten Ausfall stehen. „Fails within a year“ in D8 ist =IF(D7<8760,1,0): 1, wenn das Gerät innerhalb von 8.760 Stunden ausfällt, einem Jahr Betrieb rund um die Uhr, sonst 0. Add-In-Funktionen kommen nicht vor.

Für die Simulation ist jede Life-Zelle eine Eingangsgröße, die aus einer Weibull-Verteilung mit Form und Skala ihrer Zeile gezogen wird; D7 und D8 sind die Ausgangsgrößen. Diese Verteilungen gehören zu den Einstellungen, die beim Öffnen des Beispiels in xellstorm geladen werden; dort sind Formen und Skalen mit denselben Zahlen wie in den Spalten B und C eingetragen. Sie sind nicht mit diesen Zellen verknüpft, eine Änderung in Spalte B oder C in Excel ändert die Simulation also nicht. In der herunterladbaren Datei steht in jeder Life-Zelle als Platzhalter die Skala der Komponente; jede Iteration ersetzt sie durch eine gezogene Lebensdauer. Außerdem legt das Beispiel ein Ziel fest: eine Systemlebensdauer unter 8.760 Stunden.

Die Werte jedes Teils ergeben sich aus seiner Form und Skala: seine Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines Jahres auszufallen, wenn es allein liefe (mit der Überlebensformel im nächsten Abschnitt), und seine mittlere Lebensdauer als Fläche unter seiner Überlebenskurve.

Die exakte Lösung: Überlebenswahrscheinlichkeiten multiplizieren

Eine Weibull-Lebensdauer hat zwei Parameter. Die Skala ist das Alter, bis zu dem 63,2 % der Teile ausgefallen sind, unabhängig von der Form. Die Form gibt an, wie sich die Ausfallrate mit dem Alter ändert: Unter 1 sinkt sie (Frühausfälle), bei 1 bleibt sie konstant (Zufallsausfälle, die Exponentialverteilung), über 1 steigt sie, weil das Teil verschleißt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil im Alter t noch läuft, ist exp(−(t/Skala)^Form).

In einem Reihensystem muss jedes Teil überleben; bei unabhängigen Teilen multiplizieren sich daher die Überlebenswahrscheinlichkeiten. Nach einem Jahr läuft die Pumpe noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 74,8 %, der Motor mit 91,8 %, die Dichtung mit 32,8 % und das Lager mit 93,0 %. Ihr Produkt, 20,95 %, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät das ganze Jahr läuft; es fällt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 79,05 % innerhalb des Jahres aus. In einer Formel: P(Ausfall bis t) = 1 − exp(−Σ (t/Skala)^Form).

Die mittlere Zeit bis zum Ausfall (MTTF) ist die Fläche unter der Überlebenskurve des Systems, das Integral von exp(−Σ (t/Skala)^Form) von null bis unendlich. Für gemischte Formen gibt es dafür keine einfache geschlossene Formel, doch ein numerisches Integral ergibt 5.696 Stunden, weniger als die mittlere Lebensdauer jedes einzelnen Teils, selbst der 7.525 Stunden der Dichtung: Das Gerät bleibt immer beim frühesten von vier Ausfällen stehen.

Ergebnisse

Die Simulation zieht in jeder Iteration eine Lebensdauer für jedes der vier Teile, lässt das Modell die kleinste nehmen und zählt. Mit 20.000 Iterationen reproduziert sie die exakten Lösungen: 78,97 % der Geräte fallen innerhalb eines Jahres aus, gegenüber 79,05 %; die Abweichung ist kleiner als ein Standardfehler der Simulation (0,29 Prozentpunkte), und der simulierte Mittelwert von 5.712 Stunden weicht um weniger als einen Standardfehler (30 Stunden) vom exakten Wert 5.696 ab.

Der P10 der Systemlebensdauer heißt auch B10-Lebensdauer, das Alter, bis zu dem 10 % der Geräte ausgefallen sind: hier 1.091 Stunden, rund 45 Tage Dauerbetrieb und damit weit weniger als der Mittelwert. Lebensdauern sind nach rechts schief verteilt, daher fällt die Hälfte der Geräte innerhalb von 4.769 Stunden aus, vor dem Mittelwert von 5.712. Wie Sie Perzentile lesen, erklärt P50, P80 und P90.

Welche Komponente das System stoppt

In jeder Iteration hat das Teil mit der kürzesten Lebensdauer das Gerät gestoppt. Zählt man diese Fälle, erhält man den Anteil jedes Teils an den Ausfällen; der exakte Anteil ist das Integral aus der Ausfallrate dieses Teils mal der Überlebenswahrscheinlichkeit des Systems über alle Altersstufen.

Die Dichtung fällt in 71,0 % der Geräte als Erstes aus (exakt: 70,8 %) und in 74,5 % der Geräte, die im ersten Jahr ausfallen (exakt: 74,2 %). Die Pumpe folgt mit 18,0 %. Der Varianzbeitrag von xellstorm, aus den Rängen der Iterationen geschätzt, wie ihn die App zeigt, ergibt dasselbe Bild: Von der Streuung der Systemlebensdauer, die die Eingangsgrößen erklären, entfallen 92,3 % auf die Dichtung, weit vor den 7,1 % der Pumpe. Im Tornado-Diagramm, das jeweils eine Eingangsgröße auf ihren P10 und P90 setzt und die übrigen auf ihrem Median lässt, bewegen nur Dichtung und Pumpe die Systemlebensdauer überhaupt; Motor und Lager überdauern eine Dichtung mit Medianlebensdauer selbst bei ihrem eigenen P10. Siehe Tornado-Diagramme und Sensitivitätsanalyse.

Warum die Dichtung dominiert: Ausfälle nahe am Zufall

Zwei Dinge machen die Dichtung zum schwächsten Glied. Ihre Skala von 8.000 Stunden ist die kürzeste der vier und liegt unter einem Jahr; für sich allein fällt sie daher mit einer Wahrscheinlichkeit von 67,2 % innerhalb eines Jahres aus. Und ihre Form von 1,2, die am nächsten bei 1 liegt, bedeutet, dass ihre Ausfallrate mit dem Alter nur langsam steigt, nahe an der konstanten Rate zufälliger Ausfälle: Eine Dichtung, die schon ein Jahr gelaufen ist, fällt im folgenden Jahr nur wenig wahrscheinlicher aus als eine neue (siehe die Tabelle unten). Das Lager mit einer Form von 2,5 fällt jung selten aus: Seine Ausfälle kommen durch Verschleiß, und in den meisten Geräten ist bis dahin schon ein anderes Teil ausgefallen, sodass das Lager nur 5,3 % der Geräte stoppt.

Die Form bestimmt, was sich durch Instandhaltung erreichen lässt. Vergleichen Sie ein neues Teil mit einem, das schon ein Jahr ohne Ausfall gelaufen ist:

Eine Dichtung, die ein Jahr überstanden hat, fällt im nächsten Jahr mit einer Wahrscheinlichkeit von 76,5 % aus, gegenüber 67,2 % bei einer neuen: Das Alter ändert wenig. Ein Lager, das ein Jahr überstanden hat, fällt im nächsten Jahr 4,1-mal so wahrscheinlich aus wie ein neues (28,7 % gegenüber 7,0 %). Teile nach festem Alter zu tauschen lohnt sich, wenn sie verschleißen, wie das Lager; bei einem Teil, dessen Ausfälle nahe am Zufall liegen, ist ein neues kaum sicherer als das alte.

Was die Instandhaltungsplanung daraus macht

• Den Aufwand auf die Dichtung richten. Fielen Dichtungen nie aus, sänke die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb eines Jahres von 79,0 % auf 36,0 % (exakt: 36,1 %), wenn nur noch die anderen drei Teile ausfallen können. Mehr kann eine Verbesserung der Dichtung nicht bringen, und das ist weit mehr, als bei jedem anderen Teil zu holen ist.
• Die Gegenmaßnahme an der Form ausrichten. Funktionierende Dichtungen nach Plan zu tauschen bringt wenig. Die Hebel für die Dichtung sind eine langlebigere Dichtung (eine größere Skala), Zustandsüberwachung, die ein Leck erkennt, bevor es das Gerät stoppt, sowie Ersatzteile und ein schnelles Austauschverfahren, die jeden Stillstand kurz halten. Der Austausch nach Alter passt zu den Teilen, die verschleißen.
• Die Änderung testen, bevor Sie sie kaufen. Legen Sie in xellstorm ein Szenario an, das die Verteilung der Dichtung ändert, zum Beispiel auf Form und Skala einer langlebigeren Dichtung eines Lieferanten, und vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb eines Jahres. Szenarien verwenden dieselben Zufallszahlen wie der Basisfall; der Unterschied kommt also von der Änderung, nicht vom Stichprobenrauschen.
• Weitere Fragen an der Summenkurve (S-Kurve) ablesen. Sie zeigt die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Gerät bis zu einem beliebigen Alter ausgefallen ist: Die längste Garantie, in der höchstens 10 % der neuen Geräte ausfallen, entspricht der B10-Lebensdauer, 1.091 Stunden.

Annahmen des Modells

Die vier Lebensdauern sind unabhängig, jedes Teil startet neu, und das Gerät läuft rund um die Uhr. Die Wahrscheinlichkeit auf dieser Seite gilt für den ersten Stillstand eines neuen Geräts im ersten Jahr. Nach einer Reparatur sind die anderen Teile nicht mehr neu; für die Zahl der Stillstände pro Jahr braucht es daher ein Reparaturmodell, das sich in weiteren Zellen der Datei abbilden lässt. Eine gemeinsame Ursache, etwa Verschmutzung, die die Lebensdauern von Dichtung und Lager zugleich verkürzt, lässt sich mit einer Rangkorrelation zwischen ihren Eingangsgrößen modellieren. Formen und Skalen stammen aus Ausfalldaten und sind selbst unsicher; wenn Sie beobachtete Lebensdauern ausgefallener Teile haben, passt der Tab „From data“ (aus Daten) neben jeder Eingangsgröße im Schritt „Distributions“ (Verteilungen) per Maximum-Likelihood unter anderem eine Weibull-Verteilung an. Er behandelt jeden Wert als abgeschlossene Lebensdauer und kann Geräte, die noch laufen (zensierte Daten), nicht nutzen. Wer nur die Ausfälle anpasst, unterschätzt die Lebensdauern, und zwar stark, wenn viele Geräte noch laufen; schätzen Sie Form und Skala dann mit einem Verfahren, das zensierte Daten behandelt, und tragen Sie sie ein.

Selbst ausprobieren

1. Öffnen Sie das Modell in xellstorm. Die vier Life-Zellen sind Eingangsgrößen, D7 und D8 die Ausgangsgrößen, und eine Systemlebensdauer unter 8.760 Stunden ist das Ziel; es gibt nichts zu installieren und keine Registrierung, und die Datei wird im Browser berechnet.
2. Starten Sie den Lauf: Mit demselben Seed und 20.000 Iterationen erhalten Sie die Zahlen dieser Seite. Für die Systemlebensdauer zeigen die Ergebnisse den Mittelwert, die Wahrscheinlichkeit des Ziels (79,0 %), den P10 (1.091) und den Mittelwert der kürzesten 5 % der Lebensdauern; die Perzentiltabelle listet P1 bis P99.
3. Fahren Sie mit der Maus über die Summenkurve, um die Wahrscheinlichkeit abzulesen, dass ein Gerät bis zu einer beliebigen Stundenzahl ausgefallen ist, oder geben Sie einen Zeitraum in das Wahrscheinlichkeitsfeld ein, zum Beispiel eine Garantiezeit oder ein geplantes Überholungsintervall, um die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls davor zu sehen.
4. Ändern Sie im Schritt „Distributions“ (Verteilungen) die Skala der Dichtung oder fügen Sie ein Szenario für eine bessere Dichtung hinzu, und starten Sie den Lauf erneut, um zu sehen, wie sich die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb eines Jahres verschiebt.
5. Damit die Simulation Formen und Skalen aus dem Tabellenblatt liest, geben Sie =B2 in das Feld für die Form der Pumpe und =C2 in das Feld für ihre Skala ein, und ebenso für jede weitere Zeile. Öffnen Sie dann das eigene Zuverlässigkeitsmodell und klicken Sie auf der Modellkarte die Zellen an, bei denen Sie unsicher sind.

Geht das auch in reinem Excel?

Die exakte Lösung schon: Für ein Reihensystem mit Weibull-Lebensdauern ergibt =1-EXP(-SUMPRODUCT((8760/C2:C5)^B2:B5)) in dieser Datei die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb eines Jahres, und =WEIBULL.DIST(8760,B4,C4,TRUE) die Wahrscheinlichkeit der Dichtung allein. Eine Simulation braucht in jeder Life-Zelle eine zufällige Lebensdauer, =C2*(-LN(1-RAND()))^(1/B2) (die Umkehrfunktion der Weibull-Verteilungsfunktion), dann eine Datentabelle, die die Berechnung wiederholt, und Formeln, die sie zusammenfassen. Monte-Carlo-Simulation in Excel zeigt das Verfahren. Die exakte Formel taugt nicht mehr, sobald das Modell mehr tut, als den ersten Ausfall zu nehmen, etwa mit einer redundanten Pumpe oder mit Reparaturzeit und -kosten je Stillstand; eine Simulation der Datei kommt mit allem zurecht, was ihre Formeln berechnen.

Häufige Fragen

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