Qual a chance de um sistema em série falhar em um ano?
Neste exemplo, 79,0% das unidades novas falham no primeiro ano de operação contínua (8.760 horas): uma unidade de quatro componentes em série para na primeira falha de qualquer componente, então só funciona um ano inteiro se as quatro peças funcionarem. Uma simulação de Monte Carlo com 20.000 unidades dá 78,97%; o valor exato é 79,05%.
Os quatro componentes são uma bomba, um motor, uma vedação e um rolamento, cada um com um tempo de vida Weibull. A chance exata de falha em um ano é 1 − Π exp(−(t/escala)forma) = 79,05%, com o produto sobre as quatro peças. A vida média é de 5.712 horas (valor exato: 5.696), e 10% das unidades falham em até 1.091 horas. A vedação, que tem a menor escala e uma forma próxima de 1, é a primeira a falhar em 71,0% das unidades.
O modelo
A planilha tem uma só aba, Fleet, com uma linha por componente: Pump, Motor, Seal e Bearing (bomba, motor, vedação e rolamento) nas linhas 2 a 5. Cada linha traz a forma de Weibull do componente (coluna B), a escala em horas (coluna C) e uma célula Life (h) (coluna D). Duas fórmulas fazem o resto. System life (h), em D7, é =MIN(D2:D5): os componentes estão em série, então a unidade para na primeira falha. Fails within a year, em D8, é =IF(D7<8760,1,0): vale 1 quando a unidade falha em até 8.760 horas, um ano de funcionamento ininterrupto, e 0 caso contrário. Não há funções de suplemento.
Na simulação, cada célula Life é uma entrada sorteada de uma distribuição de Weibull com a forma e a escala da linha, e D7 e D8 são as saídas. Essas distribuições fazem parte da configuração que abre com o exemplo no xellstorm, onde formas e escalas foram digitadas com os mesmos números das colunas B e C. Não há vínculo com essas células, então editar a coluna B ou C no Excel não altera a simulação. No arquivo para baixar, cada célula Life contém a escala do componente como valor provisório, que cada iteração troca por um tempo de vida sorteado. O exemplo também define uma meta: vida do sistema abaixo de 8.760 horas.
| Componente | Forma | Escala | Vida média | Falha em um ano |
|---|---|---|---|---|
| Bomba | 1,5 | 20.000 | 18.055 | 25,2% |
| Motor | 2,0 | 30.000 | 26.587 | 8,2% |
| Vedação | 1,2 | 8.000 | 7.525 | 67,2% |
| Rolamento | 2,5 | 25.000 | 22.182 | 7,0% |
Os números de cada peça saem da forma e da escala dela: a chance de falhar em um ano se funcionasse sozinha, pela fórmula de sobrevivência da próxima seção, e a vida média, que é a área sob a curva de sobrevivência.
A solução exata: multiplique as chances de sobrevivência
Um tempo de vida Weibull tem dois parâmetros. A escala é a idade até a qual 63,2% das peças já falharam, qualquer que seja a forma. A forma diz como a taxa de falha muda com a idade: abaixo de 1, ela cai (falhas precoces); em 1, permanece constante (falhas aleatórias, a distribuição exponencial); acima de 1, aumenta conforme a peça se desgasta. A chance de uma peça ainda estar funcionando na idade t é exp(−(t/escala)forma).
Em um sistema em série, todas as peças precisam sobreviver; com peças independentes, as chances de sobrevivência se multiplicam. Depois de um ano, a bomba ainda funciona com chance de 74,8%, o motor com 91,8%, a vedação com 32,8% e o rolamento com 93,0%. O produto, 20,95%, é a chance de a unidade funcionar o ano todo; logo, a chance de ela falhar dentro do ano é 79,05%. Em uma só fórmula: P(falha até t) = 1 − exp(−Σ (t/escala)forma).
O tempo médio até a falha (MTTF) é a área sob a curva de sobrevivência do sistema, a integral de exp(−Σ (t/escala)forma) de zero ao infinito. Não existe forma fechada simples quando as formas são diferentes, mas uma integral numérica dá 5.696 horas, menos que a vida média de qualquer peça isolada, até a da vedação, de 7.525 horas: a unidade sempre para na primeira das quatro falhas.
Resultados
A simulação sorteia, em cada iteração, um tempo de vida para cada uma das quatro peças, deixa a planilha pegar o menor e conta. Com 20.000 iterações, ela reproduz os valores exatos: 78,97% das unidades falham em um ano, contra 79,05%, uma diferença menor que um erro padrão da simulação (0,29 ponto percentual), e a média simulada de 5.712 horas fica a menos de um erro padrão (30 horas) do valor exato de 5.696.
| Medida | Simulado | Exato |
|---|---|---|
| Chance de falhar em um ano (8.760 h) | 78,97% | 79,05% |
| Vida média (MTTF) | 5.712 | 5.696 |
| P10, a vida B10 (10% já falharam) | 1.091 | 1.086 |
| P50, a vida mediana | 4.769 | 4.759 |
| P90 (90% já falharam) | 11.624 | 11.610 |
O P10 da vida do sistema também é chamado de vida B10, a idade até a qual 10% das unidades já falharam: aqui, 1.091 horas, cerca de 45 dias de funcionamento contínuo, muito menos que a média. Os tempos de vida são assimétricos à direita, então metade das unidades falha em até 4.769 horas, antes da média de 5.712. Veja P50, P80 e P90 para saber como ler percentis.
Qual componente para o sistema
Em cada iteração, a peça de menor vida é a que parou a unidade. Contando esses casos, sai a parcela de cada peça nas falhas; a parcela exata é a integral, sobre todas as idades, da taxa de falha da peça vezes a sobrevivência do sistema.
| Componente | Falha primeiro, simulado | Exato | Contribuição para a variância |
|---|---|---|---|
| Vedação | 71,0% | 70,8% | 92,3% |
| Bomba | 18,0% | 18,2% | 7,1% |
| Motor | 5,7% | 5,6% | 0,4% |
| Rolamento | 5,3% | 5,4% | 0,2% |
A vedação falha primeiro em 71,0% das unidades (exato: 70,8%) e em 74,5% das unidades que falham no primeiro ano (exato: 74,2%). A bomba vem em segundo, com 18,0%. A contribuição para a variância do xellstorm, estimada a partir dos postos das iterações como no app, conta a mesma história: da variação da vida do sistema que as entradas explicam, a vedação responde por 92,3%, muito à frente dos 7,1% da bomba. No tornado, que leva uma entrada por vez ao P10 e ao P90 com as demais na mediana, só a vedação e a bomba mexem na vida do sistema; o motor e o rolamento duram mais que uma vedação mediana até no próprio P10. Veja gráficos de tornado e análise de sensibilidade.
Por que a vedação domina: falhas quase aleatórias
Duas coisas fazem da vedação o elo fraco. A escala dela, de 8.000 horas, é a menor das quatro e fica abaixo de um ano, então, sozinha, ela falha em um ano com chance de 67,2%. E a forma, de 1,2, a mais próxima de 1, faz a taxa de falha crescer só devagar com a idade, perto da taxa constante das falhas aleatórias: uma vedação que já funcionou um ano tem só um pouco mais de chance de falhar no ano seguinte do que uma nova (veja a tabela abaixo). O rolamento, com forma de 2,5, raramente falha cedo: as falhas vêm com o desgaste, e na maioria das unidades outra peça já falhou até lá, então o rolamento para apenas 5,3% delas.
A forma decide o que a manutenção pode fazer. Compare uma peça nova com outra que já funcionou um ano sem falhar:
| Componente | Forma | Peça nova | Sobreviveu um ano | Razão |
|---|---|---|---|---|
| Vedação | 1,2 | 67,2% | 76,5% | 1,1× |
| Bomba | 1,5 | 25,2% | 41,1% | 1,6× |
| Motor | 2,0 | 8,2% | 22,6% | 2,8× |
| Rolamento | 2,5 | 7,0% | 28,7% | 4,1× |
Uma vedação que sobreviveu um ano falha no ano seguinte com chance de 76,5%, contra 67,2% de uma vedação nova: a idade acrescenta pouco. Um rolamento que sobreviveu um ano tem 4,1 vezes a chance de falhar no ano seguinte que um novo (28,7% contra 7,0%). Trocar peças em idade fixa compensa quando elas se desgastam, como o rolamento; para uma peça cujas falhas são quase aleatórias, uma peça nova é pouco mais segura que a antiga.
O que um planejador de manutenção faz com isso
- Concentre o esforço na vedação. Se as vedações nunca falhassem, a chance de uma falha em um ano cairia de 79,0% para 36,0% (exato: 36,1%), só com as outras três peças. Esse é o máximo que qualquer melhoria na vedação pode render, e muito mais do que qualquer outra peça renderia.
- Escolha a solução pela forma. Trocar vedações que funcionam em intervalos fixos rende pouco. Para a vedação, as alavancas são uma vedação mais durável (escala maior), o monitoramento de condição, que detecta um vazamento antes de a unidade parar, e peças sobressalentes com um procedimento rápido de troca, que mantêm curta cada parada. A troca por idade serve às peças que se desgastam.
- Teste a mudança antes de comprá-la. No xellstorm, adicione um cenário que altere a distribuição da vedação, por exemplo para a forma e a escala de uma vedação mais durável de um fornecedor, e compare a chance de uma falha em um ano. Os cenários usam os mesmos sorteios do caso-base, então a diferença vem da mudança, e não do ruído amostral.
- Responda outras perguntas com a curva S. Ela dá a chance de uma unidade nova já ter falhado até qualquer idade: a maior garantia em que no máximo 10% das unidades novas falham é a vida B10, 1.091 horas.
O que o modelo supõe
As quatro vidas são independentes, toda peça começa nova e a unidade funciona sem parar. A chance desta página é a de uma primeira parada no primeiro ano de uma unidade nova: depois de um reparo, as outras peças já não são novas, então contar as paradas por ano exige um modelo de reparos, que a planilha pode conter em mais células. Uma causa comum, como uma contaminação que encurta ao mesmo tempo a vida da vedação e a do rolamento, pode ser modelada com uma correlação de postos entre as entradas. Formas e escalas vêm de dados de falha e também são incertas. Com tempos de vida observados de peças que falharam, a aba From data, ao lado de cada entrada na etapa Distributions, ajusta uma Weibull (entre outras famílias) por máxima verossimilhança. Ela trata cada valor como uma vida completa e não aproveita unidades que ainda estão funcionando (dados censurados). Ajustar só as falhas subestima então as vidas, muito quando muitas unidades ainda funcionam; nesse caso, estime a forma e a escala com um método que trate suspensões e digite os valores.
Experimente
- Abra o modelo no xellstorm. As quatro células Life são entradas, D7 e D8 são as saídas e a meta é uma vida do sistema abaixo de 8.760 horas; não precisa instalar nada nem fazer cadastro, e a planilha é calculada no navegador.
- Rode a simulação: com a mesma semente e 20.000 iterações, aparecem os números desta página. Para a vida do sistema, os resultados mostram a média, a chance de atingir a meta (79,0%), o P10 (1.091) e a média dos 5% menores tempos de vida; a tabela de percentis vai de P1 a P99.
- Passe o mouse sobre a curva S para ver a chance de uma unidade já ter falhado até qualquer número de horas, ou digite na caixa de probabilidade um período, como o de uma garantia ou o de uma revisão geral planejada, para ver a chance de falha antes dele.
- Na etapa Distributions, mude a escala da vedação (Seal) ou adicione um cenário para uma vedação melhor e rode de novo para ver como muda a chance de falha em um ano.
- Para a simulação ler as formas e escalas da planilha, digite
=B2no campo de forma da bomba (Pump) e=C2no campo de escala, e assim por diante para cada linha. Depois, abra o seu modelo de confiabilidade e clique no mapa do modelo nas células sobre as quais você tem dúvida.
Dá para fazer só com o Excel?
A solução exata, sim: para um sistema em série com tempos de vida Weibull, =1-EXP(-SUMPRODUCT((8760/C2:C5)^B2:B5)) nesta planilha dá a chance de uma falha em um ano, e =WEIBULL.DIST(8760,B4,C4,TRUE) dá a chance da vedação sozinha. Uma simulação precisa de um tempo de vida aleatório em cada célula Life, =C2*(-LN(1-RAND()))^(1/B2) (a inversa da função de distribuição de Weibull), uma tabela de dados para repetir o cálculo e fórmulas para resumir o resultado. Simulação de Monte Carlo no Excel explica o método. A fórmula exata deixa de funcionar assim que o modelo faz mais do que pegar a primeira falha, como uma bomba redundante ou um tempo e um custo de reparo por parada; a simulação da planilha dá conta de tudo o que as fórmulas calculam.
Perguntas
O que é um sistema em série em confiabilidade?
Um sistema em série para quando qualquer componente falha, como uma corrente que rompe no elo mais fraco. A vida dele é a menor das vidas dos componentes e, com componentes independentes, a chance de sobreviver a um período é o produto das chances de sobrevivência dos componentes; por isso o sistema nunca é mais confiável que a peça menos confiável.
O que significam a forma e a escala de Weibull?
A escala de Weibull é a idade até a qual 63,2% das peças já falharam. A forma descreve como a taxa de falha muda com a idade: abaixo de 1, ela cai (falhas precoces); em 1, é constante (falhas aleatórias); acima de 1, aumenta (desgaste). No scipy e nos arquivos de configuração do xellstorm, a distribuição é weibull_min, com a forma como c, e o app chama os campos de shape e scale; o WEIBULL.DIST do Excel recebe a forma como alpha e a escala como beta.
O que é a vida B10?
A vida B10 é a idade até a qual 10% de uma população de unidades já falhou, o percentil 10 do tempo de vida. É uma medida comum na classificação de rolamentos, onde se chama L10, e no planejamento de garantias. Na unidade de quatro peças deste exemplo, vale 1.091 horas na simulação e 1.086 horas pelo valor exato, contra uma vida média de 5.696 horas.
Por que simular se existe uma fórmula exata?
A fórmula exata de um sistema em série vale apenas enquanto o modelo é um sistema em série de peças independentes com distribuições de tempo de vida conhecidas. Modelos reais de confiabilidade acrescentam redundância, peças sobressalentes, tempos de reparo, custos de parada ou falhas correlacionadas, e então a fórmula deixa de valer. Este exemplo é simples de propósito, para que a simulação possa ser conferida com a fórmula; a mesma simulação funciona sem mudanças em uma planilha que calcula muito mais.
De quantas iterações precisa uma simulação de confiabilidade?
O ruído de uma probabilidade simulada diminui com a raiz quadrada do número de iterações: com 20.000 iterações, o erro padrão da chance de uma falha em um ano (79,0%) é de 0,29 ponto percentual. Esse é o erro padrão da amostragem aleatória simples; a amostragem por Hipercubo Latino, a padrão, costuma sair um pouco melhor e nunca pior quando o resultado se move em um só sentido a cada entrada, como aqui. Eventos raros, como uma falha nos primeiros dias, exigem muito mais iterações do que os comuns. O xellstorm também pode continuar rodando até que a média e os percentis se estabilizem dentro de uma tolerância que você escolhe.
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