직렬 시스템은 1년 안에 고장 날 확률이 얼마나 될까요?
연속 가동 첫 1년(8,760시간) 안에 고장 나는 새 장치는 79.0%입니다. 부품 네 개를 직렬로 연결한 장치는 부품 하나가 처음 고장 나는 순간 멈추므로, 네 부품이 모두 버텨야 1년을 채워 가동합니다. 장치 20,000개를 몬테카를로 시뮬레이션한 결과는 78.97%이고, 이론값은 79.05%입니다.
네 부품은 펌프, 모터, 씰, 베어링이며 각각 와이블 수명을 따릅니다. 1년 안에 고장 날 이론 확률은 1 − Π exp(−(t/scale)shape) = 79.05%이며, Π는 네 부품에 걸친 곱입니다. 평균 수명은 5,712시간(이론값: 5,696)이고, 장치의 10%는 1,091시간 안에 고장 납니다. 씰은 척도가 가장 짧고 형상이 1에 가까워서, 장치의 71.0%에서 가장 먼저 고장 나는 부품입니다.
모델
엑셀 파일에는 Fleet 시트 하나가 있고, 부품마다 한 행씩 있습니다. 2행부터 5행까지가 Pump(펌프), Motor(모터), Seal(씰), Bearing(베어링)입니다. 각 행에는 부품의 와이블 형상(B열), 시간 단위의 척도(C열), Life (h) 셀(D열)이 있습니다. 나머지는 수식 두 개가 처리합니다. D7의 System life (h)는 =MIN(D2:D5)입니다. 부품이 직렬이므로 장치는 첫 고장에서 멈춥니다. D8의 Fails within a year는 =IF(D7<8760,1,0)이며, 장치가 8,760시간(쉬지 않고 가동하는 1년) 안에 고장 나면 1, 아니면 0입니다. 애드인 함수는 없습니다.
시뮬레이션에서는 각 Life 셀이 그 행의 형상과 척도로 정한 와이블 분포에서 뽑는 입력이고, D7, D8이 출력입니다. 이 분포는 xellstorm에서 예제를 열 때 함께 불러오는 설정에 들어 있으며, 형상과 척도는 B열, C열과 같은 숫자를 직접 입력해 두었습니다. 두 열의 셀과는 연결하지 않았으므로, 엑셀에서 B열이나 C열을 고쳐도 시뮬레이션은 달라지지 않습니다. 내려받는 파일의 각 Life 셀에는 자리 표시용으로 부품의 척도가 들어 있고, 시행마다 뽑은 수명으로 바뀝니다. 예제에는 목표도 하나 설정했습니다. 시스템 수명이 8,760시간 미만인 경우입니다.
| 부품 | 형상 | 척도 | 평균 수명 | 1년 내 고장 |
|---|---|---|---|---|
| 펌프 | 1.5 | 20,000 | 18,055 | 25.2% |
| 모터 | 2.0 | 30,000 | 26,587 | 8.2% |
| 씰 | 1.2 | 8,000 | 7,525 | 67.2% |
| 베어링 | 2.5 | 25,000 | 22,182 | 7.0% |
각 부품의 숫자는 형상과 척도에서 나옵니다. 부품 하나만 가동할 때 1년 안에 고장 날 확률은 다음 절의 생존 공식으로, 평균 수명은 생존 곡선 아래 면적으로 구합니다.
이론값: 생존 확률을 곱하기
와이블 수명에는 파라미터가 두 개 있습니다. 척도는 형상과 관계없이 고장 난 부품이 63.2%에 이르는 나이입니다. 형상은 나이에 따라 고장률이 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 1보다 작으면 줄고(초기 고장), 1이면 일정하며(무작위 고장, 지수 분포), 1보다 크면 부품이 마모되면서 오릅니다. 나이 t에서 부품이 아직 가동 중일 확률은 exp(−(t/scale)shape)입니다.
직렬 시스템에서는 모든 부품이 버텨야 하므로, 부품이 독립이면 생존 확률을 곱합니다. 1년 뒤에도 가동 중일 확률은 펌프 74.8%, 모터 91.8%, 씰 32.8%, 베어링 93.0%입니다. 이들의 곱은 20.95%이며, 장치가 1년 내내 가동할 확률입니다. 따라서 1년 안에 고장 날 확률은 79.05%입니다. 하나의 공식으로 쓰면 P(failure by t) = 1 − exp(−Σ (t/scale)shape)입니다.
평균 고장 시간(MTTF)은 시스템 생존 곡선 아래 면적, 즉 exp(−Σ (t/scale)shape)의 0부터 무한대까지의 적분입니다. 형상이 서로 다르면 간단한 닫힌 형태가 없지만, 수치 적분으로 5,696시간이 나옵니다. 어떤 단일 부품의 평균 수명보다 짧고, 씰의 7,525시간보다도 짧습니다. 장치는 항상 네 고장 중 가장 이른 것에서 멈추기 때문입니다.
결과
시뮬레이션은 시행마다 네 부품 각각의 수명을 뽑고, 엑셀 파일이 그중 가장 작은 값을 고르게 한 뒤 개수를 셉니다. 20,000회 시행하면 이론값을 그대로 재현합니다. 1년 안에 고장 나는 장치는 시뮬레이션에서 78.97%, 이론값에서 79.05%이며, 이 차이는 시뮬레이션의 표준오차 1개(0.29퍼센트포인트)보다 작습니다. 시뮬레이션 평균 5,712시간도 이론값 5,696시간에서 표준오차 1개(30시간) 이내입니다.
| 측정값 | 시뮬레이션 | 이론값 |
|---|---|---|
| 1년(8,760시간) 안에 고장 날 확률 | 78.97% | 79.05% |
| 평균 수명(MTTF) | 5,712 | 5,696 |
| P10, B10 수명(10%가 고장 남) | 1,091 | 1,086 |
| P50, 중앙값 수명 | 4,769 | 4,759 |
| P90(90%가 고장 남) | 11,624 | 11,610 |
시스템 수명의 P10은 B10 수명이라고도 하며, 장치의 10%가 고장 난 나이입니다. 여기서는 1,091시간으로, 연속 가동 약 45일이며 평균보다 훨씬 짧습니다. 수명은 오른쪽으로 치우쳐 있어서, 장치의 절반은 평균 5,712시간보다 이른 4,769시간 안에 고장 납니다. 백분위수를 읽는 방법은 P50, P80, P90에서 설명합니다.
시스템을 멈추는 부품
시행마다 수명이 가장 짧은 부품이 장치를 멈춘 부품입니다. 이를 세면 부품별 고장 비중이 나옵니다. 이론 비중은 그 부품의 고장률에 시스템 생존 확률을 곱해 모든 나이에 걸쳐 적분한 값입니다.
| 부품 | 가장 먼저 고장 남, 시뮬레이션 | 이론값 | 분산 기여도 |
|---|---|---|---|
| 씰 | 71.0% | 70.8% | 92.3% |
| 펌프 | 18.0% | 18.2% | 7.1% |
| 모터 | 5.7% | 5.6% | 0.4% |
| 베어링 | 5.3% | 5.4% | 0.2% |
씰이 가장 먼저 고장 나는 장치는 71.0%(이론값: 70.8%)이고, 첫 1년 안에 고장 나는 장치만 보면 74.5%(이론값: 74.2%)입니다. 두 번째는 펌프로 18.0%입니다. xellstorm의 분산 기여도(앱에 표시되는 대로 시행의 순위로 추정)도 같은 이야기를 합니다. 입력이 설명하는 시스템 수명의 변동 중 씰의 몫은 92.3%이고, 펌프의 몫은 7.1%입니다. 씰이 훨씬 앞섭니다. 나머지는 중앙값에 둔 채 입력을 하나씩 P10과 P90으로 옮기는 토네이도에서는 씰과 펌프만 시스템 수명을 움직입니다. 모터와 베어링은 자신의 P10에서도 씰의 중앙값보다 오래갑니다. 토네이도 차트와 민감도 분석에서 설명합니다.
씰이 고장을 좌우하는 이유: 무작위 고장에 가까움
씰이 약한 고리인 데는 두 가지 이유가 있습니다. 첫째, 씰의 척도 8,000시간은 네 부품 중 가장 짧고 1년보다 짧아서, 씰 하나만으로도 1년 안에 고장 날 확률이 67.2%입니다. 둘째, 씰의 형상(1.2)이 1에 가장 가까워 고장률이 나이에 따라 아주 천천히만 오릅니다. 무작위 고장의 일정한 고장률에 가깝다는 뜻입니다. 1년 동안, 이미 1년을 가동한 씰이 고장 날 확률은 새 씰보다 조금 높을 뿐입니다(아래 표 참고). 형상이 2.5인 베어링은 초기에는 거의 고장 나지 않습니다. 고장은 마모되면서 나타나는데, 그 무렵에는 대부분의 장치에서 다른 부품이 이미 고장 나 있어서 베어링이 멈추게 하는 장치는 5.3%뿐입니다.
형상에 따라 정비로 할 수 있는 일이 달라집니다. 새 부품과, 고장 없이 이미 1년을 가동한 부품을 비교해 봅니다:
| 부품 | 형상 | 새 부품 | 1년 생존 | 비율 |
|---|---|---|---|---|
| 씰 | 1.2 | 67.2% | 76.5% | 1.1× |
| 펌프 | 1.5 | 25.2% | 41.1% | 1.6× |
| 모터 | 2.0 | 8.2% | 22.6% | 2.8× |
| 베어링 | 2.5 | 7.0% | 28.7% | 4.1× |
1년을 버틴 씰의 다음 1년 고장 확률은 76.5%이고, 새 씰은 67.2%입니다. 나이는 거의 영향을 주지 않습니다. 1년을 버틴 베어링이 다음 1년 안에 고장 날 확률은 새 베어링의 4.1배입니다(28.7% 대 7.0%). 정해진 나이에 부품을 교체하는 것은 베어링처럼 마모되는 부품에서 효과가 있습니다. 고장이 무작위에 가까운 부품은 새것으로 바꿔도 낡은 부품보다 거의 안전해지지 않습니다.
정비 계획에 쓰는 법
- 씰에 힘을 모읍니다. 씰이 전혀 고장 나지 않는다면 1년 안에 고장 날 확률은 79.0%에서 36.0%까지 떨어집니다(이론값: 36.1%). 나머지 세 부품만 남는 경우입니다. 씰을 개선해서 얻을 수 있는 최대치이며, 다른 어떤 부품이 주는 효과보다 훨씬 큽니다.
- 형상에 따라 대책을 고릅니다. 멀쩡한 씰을 일정에 따라 교체해도 얻는 것이 적습니다. 씰에 쓸 수단은 수명이 더 긴 씰(더 큰 척도), 장치가 멈추기 전에 누설을 잡아내는 상태 모니터링, 정지마다 시간을 줄여 주는 예비품과 신속한 교체 절차입니다. 나이 기준 교체는 마모되는 부품에 맞습니다.
- 구매 전에 변경 효과를 시험합니다. xellstorm에서 씰의 분포를 바꾸는 시나리오를 추가하고(예: 공급업체의 더 오래가는 씰의 형상과 척도로) 1년 안에 고장 날 확률을 비교합니다. 시나리오는 기준 케이스와 같은 난수 추출값을 쓰므로, 차이는 표본 잡음이 아니라 변경에서 나옵니다.
- 다른 질문은 S커브에서 읽습니다. S커브는 새 장치가 어떤 나이까지 고장 났을 확률을 보여 줍니다. 새 장치 중 고장 나는 비율이 최대 10%인 가장 긴 보증 기간이 B10 수명, 즉 1,091시간입니다.
모델의 가정
수명 네 개는 독립이고, 모든 부품은 새것으로 시작하며, 장치는 쉬지 않고 가동합니다. 이 페이지의 확률은 새 장치의 첫 1년 안의 첫 정지 확률입니다. 수리 후에는 나머지 부품이 더 이상 새것이 아니므로, 연간 정지 횟수를 구하려면 수리 모델이 필요합니다. 수리 모델은 엑셀 파일에 셀을 더 두어 담을 수 있습니다. 씰과 베어링의 수명을 함께 줄이는 오염처럼 공통 원인이 있으면 두 입력의 순위 상관으로 모델링할 수 있습니다. 형상과 척도는 고장 데이터에서 나오며 그 자체로 불확실합니다. 고장 난 부품의 수명을 관측했다면, Distributions 단계에서 각 입력 옆의 From data 탭이 다른 분포들과 함께 와이블을 최대우도로 적합합니다. 이 탭은 모든 값을 완료된 수명으로 취급하며, 아직 가동 중인 장치(중도절단 데이터)는 쓰지 못합니다. 고장만으로 적합하면 수명을 낮게 추정하며, 가동 중인 장치가 많을수록 심합니다. 그런 경우에는 중단(suspension)을 처리하는 방법으로 형상과 척도를 추정해 직접 입력합니다.
직접 해 보기
- xellstorm에서 모델을 엽니다. Life 셀 네 개가 입력이고 D7, D8이 출력이며, 시스템 수명 8,760시간 미만이 목표입니다. 설치도 가입도 필요 없고, 엑셀 파일은 브라우저에서 계산합니다.
- 실행합니다. 같은 시드와 20,000회 시행을 쓰면 이 페이지의 숫자가 그대로 나옵니다. 시스템 수명의 결과에는 평균, 목표 확률(79.0%), P10(1,091), 가장 짧은 5% 수명의 평균이 표시되며, 백분위수 표에는 P1부터 P99까지 있습니다.
- S커브에 마우스를 올리면 몇 시간까지 고장 났을 확률이든 바로 나옵니다. 확률 입력란에 기간(예: 보증 기간이나 계획된 오버홀 주기)을 입력하면 그 전에 고장 날 확률이 나옵니다.
- Distributions 단계에서 씰의 척도를 바꾸거나 더 나은 씰의 시나리오를 추가한 다음 다시 실행해, 1년 안에 고장 날 확률이 어떻게 달라지는지 봅니다.
- 시뮬레이션이 시트에서 형상과 척도를 읽게 하려면 펌프의 형상 입력란에
=B2를, 척도 입력란에=C2를 입력하고, 다른 행도 같은 식으로 입력합니다. 그런 다음 내 신뢰성 모델을 열고, 확신이 없는 셀을 모델 맵에서 클릭합니다.
일반 엑셀로도 할 수 있나요?
이론값은 가능합니다. 와이블 수명의 직렬 시스템에서 이 엑셀 파일의 1년 안에 고장 날 확률은 =1-EXP(-SUMPRODUCT((8760/C2:C5)^B2:B5))로 구하고, 씰 하나만의 확률은 =WEIBULL.DIST(8760,B4,C4,TRUE)로 구합니다. 시뮬레이션에는 Life 셀마다 무작위 수명이 필요합니다. =C2*(-LN(1-RAND()))^(1/B2)(와이블 분포 함수의 역함수)를 쓰고, 계산을 반복하는 데이터 표와 결과를 요약하는 수식을 더합니다. 엑셀 몬테카를로 시뮬레이션에서 방법을 보여 줍니다. 이론식은 이중화된 펌프나 정지마다 드는 수리 시간과 비용처럼 모델이 첫 고장만 보는 데서 벗어나는 순간 쓸 수 없습니다. 엑셀 파일을 시뮬레이션하면 수식이 계산하는 것은 무엇이든 처리합니다.
자주 묻는 질문
신뢰성에서 직렬 시스템은 무엇인가요?
직렬 시스템은 구성 부품 중 하나라도 고장 나면 멈추는 시스템으로, 가장 약한 고리에서 끊어지는 사슬과 같습니다. 수명은 부품 수명 중 가장 짧은 것이고, 부품이 독립이면 일정 기간을 버틸 확률은 부품들의 생존 확률을 곱한 값입니다. 따라서 가장 신뢰성이 낮은 부품보다 신뢰성이 높아질 수 없습니다.
와이블 형상과 척도는 무엇을 뜻하나요?
와이블 척도는 고장 난 부품이 63.2%에 이르는 나이입니다. 형상은 나이에 따라 고장률이 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 1보다 작으면 줄고(초기 고장), 1이면 일정하며(무작위 고장), 1보다 크면 오릅니다(마모 고장). scipy와 xellstorm의 설정 파일에서 이 분포는 weibull_min이고 형상은 c입니다. 앱의 입력란 이름은 shape와 scale입니다. 엑셀의 WEIBULL.DIST는 형상을 alpha, 척도를 beta로 받습니다.
B10 수명은 무엇인가요?
B10 수명은 장치 집단의 10%가 고장 난 나이로, 수명의 10번째 백분위수입니다. 이 척도는 베어링 정격에서는 L10이라는 이름으로, 보증 계획에서도 흔히 씁니다. 이 예제의 부품 네 개짜리 장치는 시뮬레이션에서 1,091시간, 이론값으로 1,086시간이며, 평균 수명은 5,696시간입니다.
이론식이 있는데 왜 시뮬레이션을 하나요?
직렬 시스템의 이론식은 모델이 수명 분포를 아는 독립 부품의 직렬 시스템인 동안에만 성립합니다. 실제 신뢰성 모델에는 이중화, 예비품, 수리 시간, 가동 중단 비용, 서로 상관관계가 있는 고장이 더해지며, 그러면 공식은 더 이상 적용되지 않습니다. 이 예제는 시뮬레이션을 공식과 대조해 검증할 수 있도록 단순하게 만들었습니다. 같은 시뮬레이션은 훨씬 더 많은 것을 계산하는 엑셀 파일에도 그대로 작동합니다.
신뢰성 시뮬레이션에는 시행이 몇 회 필요한가요?
시뮬레이션한 확률의 잡음은 시행 횟수의 제곱근에 따라 줄어듭니다. 20,000회 시행에서 1년 안에 고장 날 확률(79.0%)의 표준오차는 0.29퍼센트포인트입니다. 이는 단순 무작위 샘플링의 표준오차이며, 기본값인 라틴 하이퍼큐브 샘플링은 대개 조금 더 낫고, 여기처럼 결과가 입력마다 한 방향으로만 움직일 때는 결코 더 나쁘지 않습니다. 처음 며칠 안의 고장 같은 드문 사건은 흔한 사건보다 시행이 훨씬 많이 필요합니다. xellstorm은 평균과 백분위수가 정한 허용 오차 안에서 안정될 때까지 계속 실행할 수도 있습니다.
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xellstorm은 엑셀 모델을 브라우저에서 몬테카를로 시뮬레이션하는 도구입니다. 애드인은 필요 없고, 엑셀 파일은 내 컴퓨터 밖으로 나가지 않습니다.