串聯系統在一年內發生故障的機率有多高？
這個範例中，79.0% 的新機組在連續運轉的第一年內（8,760 小時）故障：四個零組件串聯的機組，第一個零組件失效就停機，所以四個零件都撐過，才能運轉滿一年。模擬 20,000 台機組得到 78.97%，理論值是 79.05%。
四個零組件是幫浦、馬達、密封件和軸承，壽命各服從韋伯分配。一年內故障的理論機率是 1 − Π exp(−(t/scale)shape) = 79.05%，Π 是四個零件的連乘。平均壽命為 5,712 小時（理論值：5,696），10% 的機組在 1,091 小時內故障。密封件的尺度參數最小、形狀參數接近 1，在 71.0% 的機組中最先失效。
模型
Excel 檔案只有一張工作表 Fleet，每個零組件一列：第 2 至 5 列依序是 Pump（幫浦）、Motor（馬達）、Seal（密封件）與 Bearing（軸承）。每列有該零組件的韋伯形狀參數（B 欄）、以小時計的尺度參數（C 欄）和一個 Life (h)（壽命）儲存格（D 欄）。其餘靠兩條公式：D7 的 System life (h)（系統壽命）是 =MIN(D2:D5)，零組件串聯，所以第一次失效機組就停機；D8 的 Fails within a year（一年內故障）是 =IF(D7<8760,1,0)，機組在 8,760 小時（全年無休運轉一年）內故障為 1，否則為 0。沒有用到任何增益集函數。
模擬時，每個 Life 儲存格都是輸入，依所在列的形狀參數與尺度參數，從韋伯分配抽樣；D7 與 D8 是輸出。這些分配屬於在 xellstorm 開啟範例時一併載入的設定，形狀參數與尺度參數是照 B、C 兩欄的數字輸入的，並未連結到那些儲存格，所以在 Excel 裡改 B 欄或 C 欄，模擬不會跟著變。下載的檔案裡，每個 Life 儲存格暫放該零組件的尺度參數當預留值，每次試驗都會用抽出的壽命取代。範例另外設了一個目標：系統壽命小於 8,760 小時。
| 零組件 | 形狀參數 | 尺度參數 | 平均壽命 | 一年內失效 |
|---|---|---|---|---|
| 幫浦 | 1.5 | 20,000 | 18,055 | 25.2% |
| 馬達 | 2.0 | 30,000 | 26,587 | 8.2% |
| 密封件 | 1.2 | 8,000 | 7,525 | 67.2% |
| 軸承 | 2.5 | 25,000 | 22,182 | 7.0% |
每個零件的數字都由形狀參數與尺度參數推得：單獨運轉時一年內失效的機率，用下一節的存活公式算；平均壽命則是存活曲線下的面積。
理論值：把存活機率相乘
韋伯壽命有兩個參數。尺度參數是累積 63.2% 的零件失效時的運轉時間，不論形狀參數為何。形狀參數說明失效率如何隨運轉時間變化：小於 1 時遞減（早期失效），等於 1 時不變（隨機失效，即指數分配），大於 1 時隨零件磨耗而上升。零件運轉到時間 t 仍在運作的機率是 exp(−(t/scale)shape)。
串聯系統的每個零件都必須存活，所以零件彼此獨立時，存活機率相乘。運轉一年後，幫浦仍在運作的機率是 74.8%，馬達 91.8%，密封件 32.8%，軸承 93.0%。乘積 20.95% 就是機組運轉滿一年的機率，所以一年內故障的機率是 79.05%。寫成一條公式：P(failure by t) = 1 − exp(−Σ (t/scale)shape)。
MTTF（平均失效時間）是系統存活曲線下的面積，也就是 exp(−Σ (t/scale)shape) 從零積到無限大。形狀參數不一致時沒有簡單的封閉形式，但數值積分得到 5,696 小時，比任何單一零件的平均壽命都短，連密封件的 7,525 小時也不及：機組總是在四個零件中最早失效的那一個發生時停機。
結果
模擬每次試驗為四個零件各抽一個壽命，讓檔案取最小者，再計數。20,000 次試驗就能重現理論值：78.97% 的機組在一年內故障，理論值 79.05%，差距小於模擬的一個標準誤（0.29 個百分點）；模擬平均值 5,712 小時，與理論值 5,696 的差距也在一個標準誤（30 小時）之內。
| 指標 | 模擬 | 理論值 |
|---|---|---|
| 一年（8,760 h）內故障的機率 | 78.97% | 79.05% |
| 平均壽命（MTTF） | 5,712 | 5,696 |
| P10，即 B10 壽命（累積 10% 失效） | 1,091 | 1,086 |
| P50，即壽命中位數 | 4,769 | 4,759 |
| P90（累積 90% 失效） | 11,624 | 11,610 |
系統壽命的 P10 也稱 B10 壽命，是累積 10% 的機組失效時的運轉時間：此處為 1,091 小時，約連續運轉 45 天，遠低於平均值。壽命右偏，所以有一半的機組在 4,769 小時內故障，早於平均值 5,712。百分位數怎麼讀，見 P50、P80 與 P90。
是哪個零組件讓系統停機
每次試驗中壽命最短的零件，就是讓機組停機的零件。計數後就得到各零件占故障的比例；理論占比是該零件的失效率乘以系統存活機率，再對所有運轉時間積分。
| 零組件 | 最先失效（模擬） | 理論值 | 變異貢獻度 |
|---|---|---|---|
| 密封件 | 71.0% | 70.8% | 92.3% |
| 幫浦 | 18.0% | 18.2% | 7.1% |
| 馬達 | 5.7% | 5.6% | 0.4% |
| 軸承 | 5.3% | 5.4% | 0.2% |
密封件在 71.0% 的機組中最先失效（理論值：70.8%），在第一年內故障的機組中占 74.5%（理論值：74.2%）。幫浦居次，占 18.0%。xellstorm 的變異貢獻度（如應用程式所示，依試驗的等級估算）說的是同一件事：輸入所能解釋的系統壽命變異中，密封件占 92.3%，遠高於幫浦的 7.1%。龍捲風圖每次只把一個輸入設為 P10 與 P90、其他輸入維持中位數，結果只有密封件與幫浦會讓系統壽命有所變動；馬達與軸承即使取自身的 P10，也比中位數的密封件耐用。見龍捲風圖與敏感度分析。
密封件為何是主因：失效接近隨機
兩點讓密封件成為最弱的一環。尺度參數 8,000 小時是四者中最小的，而且不到一年，所以單獨運轉時一年內失效的機率是 67.2%。形狀參數 1.2 最接近 1，表示失效率隨運轉時間只緩慢上升，接近隨機失效的固定失效率：已運轉一年的密封件，接下來一年失效的可能性只比新品略高（見下表）。軸承的形狀參數是 2.5，很少在早期失效：它在磨耗後才失效，而多數機組在那之前已有其他零件失效，所以讓機組停機的軸承只占 5.3%。
形狀參數決定維護能做什麼。比較新零件與已運轉一年而未失效的零件：
| 零組件 | 形狀參數 | 新零件 | 已存活一年 | 倍數 |
|---|---|---|---|---|
| 密封件 | 1.2 | 67.2% | 76.5% | 1.1× |
| 幫浦 | 1.5 | 25.2% | 41.1% | 1.6× |
| 馬達 | 2.0 | 8.2% | 22.6% | 2.8× |
| 軸承 | 2.5 | 7.0% | 28.7% | 4.1× |
存活滿一年的密封件，下一年失效的機率是 76.5%，新密封件是 67.2%：運轉時間增加的影響很小。存活滿一年的軸承，下一年失效的可能性是新軸承的 4.1 倍（28.7% 對 7.0%）。零件因磨耗而失效時（如軸承），按運轉時間定期更換才划算；失效接近隨機的零件，新的並不比舊的安全多少。
維護規劃人員怎麼用這些結果
- 把心力放在密封件上。如果密封件永不失效，一年內發生故障的機率會從 79.0% 降到 36.0%（理論值：36.1%），也就是只剩其他三個零件。這是改善密封件所能換得的最大效益，遠勝其他任何零件。
- 依形狀參數選對策。按排程更換仍能運作的密封件，收益很小。要改善密封件，可從三處著手：壽命更長的密封件（更大的尺度參數）、能在洩漏讓機組停機前發現的狀態監測，以及備品與快速更換程序，讓每次停機都很短。依運轉時間更換，適用於會磨耗的零件。
- 買之前先測試。在 xellstorm 新增一個改變密封件分配的情境，例如改成供應商長壽命密封件的形狀參數與尺度參數，再比較一年內故障的機率。情境與基準情境用相同的隨機抽樣，所以差異來自變更本身，不是抽樣雜訊。
- 其他問題，從 S 曲線讀。它給出新機組在任一運轉時間前已故障的機率：故障率不超過 10% 的最長保固期，就是 B10 壽命，即 1,091 小時。
模型的假設
四個壽命彼此獨立，每個零件都從新品開始，機組全天候運轉。本頁的機率是新機組第一年內第一次停機的機率：維修後其他零件已不是新品，所以每年停機次數需要維修模型，這可以在檔案裡用更多儲存格建立。共同原因，例如污染同時縮短密封件與軸承的壽命，可以用兩者輸入之間的等級相關來建模。形狀參數與尺度參數來自失效資料，本身也不確定；有已失效零件的實際壽命觀測值時，Distributions 步驟各輸入旁的 From data 分頁，能以最大概似法配適韋伯分配（及其他分配）。它把每個值都當成已完整的壽命，無法使用仍在運轉的機組（設限資料）。只配適已失效的資料會低估壽命，仍在運轉的機組很多時尤其嚴重，這時要改用能處理中止資料的方法估計形狀參數與尺度參數，再自行輸入。
親自試試
- 用 xellstorm 開啟模型。四個 Life 儲存格是輸入，D7 與 D8 是輸出，目標是系統壽命小於 8,760 小時；不需安裝、不需註冊，Excel 檔案直接在瀏覽器計算。
- 執行：用相同的亂數種子與 20,000 次試驗，就會得到本頁的數字。系統壽命的結果會顯示平均值、達成目標的機率（79.0%）、P10（1,091）和最短 5% 壽命的平均值；百分位數表則列出 P1 到 P99。
- 游標移到 S 曲線上，就讀得出機組在任一小時數前已故障的機率；也可在機率欄位輸入一段期間，例如保固期或預定的大修間隔，看在它之前故障的機率。
- 在 Distributions 步驟，改密封件的尺度參數，或新增一個較佳密封件的情境，再執行一次，看一年內故障的機率怎麼變。
- 想讓模擬從工作表讀形狀參數與尺度參數，就在幫浦的形狀參數欄位輸入
=B2、尺度參數欄位輸入=C2，其餘各列比照辦理。接著開啟自己的可靠度模型，在模型圖上點選沒把握的儲存格。
只用 Excel 也做得到嗎？
理論值算得出來：對壽命服從韋伯分配的串聯系統，本檔案裡的 =1-EXP(-SUMPRODUCT((8760/C2:C5)^B2:B5)) 可算出一年內故障的機率，=WEIBULL.DIST(8760,B4,C4,TRUE) 則是密封件單獨的機率。模擬則要在每個 Life 儲存格放一個隨機壽命 =C2*(-LN(1-RAND()))^(1/B2)（韋伯分配函數的反函數），再用資料表重複計算，並用公式彙總結果。Excel 蒙地卡羅模擬說明了這個方法。一旦模型做的不只是取第一次失效，例如有備援幫浦，或每次停機的維修時間與成本，理論公式就不管用了；模擬檔案，則公式算得出什麼，就處理得了什麼。
常見問題
可靠度中的串聯系統是什麼？
串聯系統是任何一個零組件故障就會停機的系統，像鏈條斷在最弱的一環。系統壽命是各零組件壽命中最短的那個；零組件彼此獨立時，撐過一段期間的機率是各零組件存活機率的乘積，所以它絕不會比最不可靠的零件更可靠。
韋伯分配的形狀參數與尺度參數是什麼意思？
韋伯尺度參數是累積 63.2% 的零件失效時的運轉時間。形狀參數描述失效率如何隨運轉時間變化：小於 1 時遞減（早期失效），等於 1 時固定（隨機失效），大於 1 時上升（磨耗失效）。在 scipy 與 xellstorm 的設定檔中，這個分配是 weibull_min，形狀參數為 c，應用程式則把欄位標為 shape 與 scale；Excel 的 WEIBULL.DIST 把形狀參數稱為 alpha、尺度參數稱為 beta。
B10 壽命是什麼？
B10 壽命是一群機組中累積 10% 失效時的運轉時間，也就是壽命的第 10 百分位數。這個指標常見於軸承額定值（稱為 L10）與保固規劃。以本範例的四零件機組來說，模擬值為 1,091 小時，理論值為 1,086 小時，平均壽命則為 5,696 小時。
已有理論公式，為什麼還要模擬？
串聯系統的理論公式，只有在模型是由壽命分配已知、彼此獨立的零件串成時才成立。實際的可靠度模型常加入備援、備品、維修時間、停機成本或相關的失效，公式就不適用了。本範例刻意保持簡單，才能用公式檢驗模擬；同樣的模擬原封不動，也能用在算得更多的檔案上。
可靠度模擬需要多少次試驗？
模擬機率的雜訊隨試驗次數的平方根縮小：20,000 次試驗時，一年內故障的機率（79.0%）標準誤是 0.29 個百分點。這是單純隨機抽樣的標準誤；預設的拉丁超立方抽樣通常稍好一些，而結果隨每個輸入只朝單一方向變動時（如本例），也絕不會更差。罕見事件，例如運轉幾天內就故障，需要的試驗比常見事件多得多。xellstorm 也能持續執行，直到平均值與百分位數穩定在選定的容許誤差之內。
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