Quelle est la probabilité qu’un système série tombe en panne en moins d’un an ?

Exemple traité · Fiabilité des équipements · Mis à jour en octobre 2026

Dans cet exemple, 79,0 % des unités neuves tombent en panne au cours de leur première année de fonctionnement continu (8 760 heures) : une unité de quatre composants en série s’arrête à la première défaillance d’un composant, et ne fonctionne donc une année entière que si les quatre pièces tiennent. Une simulation de Monte-Carlo de 20 000 unités donne 78,97 %, contre 79,05 % en valeur exacte.

Les quatre composants sont une pompe, un moteur, un joint et un roulement, chacun avec une durée de vie de Weibull. La probabilité exacte d’une défaillance en un an est 1 − Π exp(−(t/échelle)^forme) = 79,05 %, le produit portant sur les quatre pièces. La durée de vie moyenne est de 5 712 heures (valeur exacte : 5 696), et 10 % des unités tombent en panne en moins de 1 091 heures. Le joint, avec l’échelle la plus courte et une forme proche de 1, est la pièce qui défaille en premier dans 71,0 % des unités.

Le modèle

Le fichier n’a qu’une feuille, Fleet, avec une ligne par composant : Pump (pompe), Motor (moteur), Seal (joint) et Bearing (roulement), aux lignes 2 à 5. Chaque ligne contient la forme de Weibull du composant (colonne B), son échelle en heures (colonne C) et une cellule Life (h), la durée de vie en heures (colonne D). Deux formules font le reste. System life (h), la durée de vie du système, en D7, vaut =MIN(D2:D5) : les composants sont en série, donc l’unité s’arrête à la première défaillance. Fails within a year, la défaillance en moins d’un an, en D8, vaut =IF(D7<8760,1,0), soit 1 lorsque l’unité tombe en panne en moins de 8 760 heures, une année de fonctionnement jour et nuit, et 0 sinon. Aucune fonction de complément n’est utilisée.

Pour la simulation, chaque cellule Life est une entrée tirée dans une distribution de Weibull ayant la forme et l’échelle de sa ligne, et D7 et D8 sont les sorties. Ces distributions font partie de la configuration qui s’ouvre avec l’exemple dans xellstorm, où les formes et les échelles sont saisies avec les mêmes nombres que les colonnes B et C ; elles ne sont pas liées à ces cellules : modifier la colonne B ou C dans Excel ne change donc pas la simulation. Dans le fichier à télécharger, chaque cellule Life contient l’échelle du composant comme valeur provisoire, que chaque itération remplace par une durée de vie tirée. L’exemple définit aussi un objectif : une durée de vie du système inférieure à 8 760 heures.

Pour chaque pièce, sa forme et son échelle déterminent deux chiffres : la probabilité de défaillance en un an si elle fonctionnait seule (par la formule de survie de la section suivante) et la durée de vie moyenne, aire sous sa courbe de survie.

La solution exacte : multiplier les probabilités de survie

Une durée de vie de Weibull a deux paramètres. L’échelle est l’âge auquel 63,2 % des pièces sont défaillantes, quelle que soit la forme. La forme indique comment le taux de défaillance évolue avec l’âge : inférieure à 1, il diminue (défaillances précoces) ; égale à 1, il reste constant (défaillances aléatoires, distribution exponentielle) ; supérieure à 1, il augmente à mesure que la pièce s’use. La probabilité qu’une pièce fonctionne encore à l’âge t est exp(−(t/échelle)^forme).

Dans un système série, chaque pièce doit survivre ; avec des pièces indépendantes, les probabilités de survie se multiplient. Au bout d’un an, la pompe fonctionne encore avec une probabilité de 74,8 %, le moteur 91,8 %, le joint 32,8 % et le roulement 93,0 %. Leur produit, 20,95 %, est la probabilité que l’unité fonctionne toute l’année ; elle tombe donc en panne dans l’année avec une probabilité de 79,05 %. En une formule : P(défaillance avant t) = 1 − exp(−Σ (t/échelle)^forme).

Le temps moyen avant défaillance (MTTF) est l’aire sous la courbe de survie du système, l’intégrale de exp(−Σ (t/échelle)^forme) de zéro à l’infini. Elle n’a pas d’expression simple quand les formes diffèrent, mais une intégrale numérique donne 5 696 heures, soit moins que la durée de vie moyenne de n’importe quelle pièce prise seule, même celle du joint (7 525 heures) : l’unité s’arrête toujours à la première de quatre défaillances.

Résultats

La simulation tire une durée de vie pour chacune des quatre pièces à chaque itération, laisse le fichier retenir la plus courte, puis compte. Avec 20 000 itérations, elle retrouve les valeurs exactes : 78,97 % des unités tombent en panne en moins d’un an contre 79,05 %, un écart inférieur à une erreur type de la simulation (0,29 point de pourcentage), et la moyenne simulée de 5 712 heures est à moins d’une erreur type (30 heures) de la valeur exacte, 5 696.

Le P10 de la durée de vie du système s’appelle aussi durée de vie B10, l’âge auquel 10 % des unités sont défaillantes : 1 091 heures ici, soit environ 45 jours de fonctionnement continu, bien moins que la moyenne. Les durées de vie sont asymétriques vers la droite : la moitié des unités tombent donc en panne en moins de 4 769 heures, avant la moyenne de 5 712. Voir P50, P80 et P90 pour la lecture des centiles.

Quel composant arrête le système

À chaque itération, la pièce à la durée de vie la plus courte est celle qui a arrêté l’unité. Les compter donne la part de chaque pièce dans les défaillances ; la part exacte est l’intégrale, sur tous les âges, du taux de défaillance de cette pièce multiplié par la survie du système.

Le joint défaille en premier dans 71,0 % des unités (valeur exacte : 70,8 %), et dans 74,5 % des unités qui tombent en panne la première année (valeur exacte : 74,2 %). La pompe vient en deuxième avec 18,0 %. La contribution à la variance de xellstorm, estimée à partir des rangs des itérations comme l’affiche l’application, dit la même chose : sur la variation de la durée de vie du système qu’expliquent les entrées, le joint en représente 92,3 %, loin devant les 7,1 % de la pompe. Dans le diagramme en tornade, qui place une entrée à la fois à son P10 puis à son P90 avec les autres à leur médiane, seuls le joint et la pompe font bouger la durée de vie du système ; le moteur et le roulement survivent à un joint médian même à leur propre P10. Voir diagrammes en tornade et analyse de sensibilité.

Pourquoi le joint domine : des défaillances proches du hasard

Deux éléments font du joint le maillon faible. Son échelle de 8 000 heures est la plus courte des quatre et inférieure à un an : seul, il tombe donc en panne dans l’année avec une probabilité de 67,2 %. Et sa forme de 1,2, la plus proche de 1, signifie que son taux de défaillance ne croît que lentement avec l’âge, près du taux constant des défaillances aléatoires : sur une année, un joint qui a déjà fonctionné un an ne risque que légèrement plus de tomber en panne qu’un joint neuf (voir le tableau ci-dessous). Le roulement, de forme 2,5, tombe rarement en panne jeune : ses défaillances arrivent avec l’usure, et dans la plupart des unités une autre pièce a déjà lâché à ce moment-là ; le roulement n’arrête donc que 5,3 % d’entre elles.

La forme décide de ce que la maintenance peut faire. Comparez une pièce neuve à une pièce qui a déjà fonctionné un an sans défaillir :

Un joint qui a survécu un an défaille l’année suivante avec une probabilité de 76,5 %, contre 67,2 % pour un joint neuf : l’âge ajoute peu. Un roulement qui a survécu un an a 4,1 fois plus de risques de défaillir l’année suivante qu’un roulement neuf (28,7 % contre 7,0 %). Remplacer les pièces à un âge fixe est rentable lorsqu’elles s’usent, comme le roulement ; pour une pièce dont les défaillances sont proches du hasard, une pièce neuve n’est guère plus sûre que l’ancienne.

Ce que le responsable de maintenance en tire

• Concentrer l’effort sur le joint. Si les joints ne défaillaient jamais, la probabilité d’une défaillance en un an passerait de 79,0 % à 36,0 % (valeur exacte : 36,1 %), avec les trois autres pièces seules. C’est le maximum que peut apporter une amélioration du joint, et bien plus que ce que peut apporter toute autre pièce.
• Choisir le remède selon la forme. Remplacer à intervalles fixes des joints qui fonctionnent apporte peu. Les leviers pour le joint sont un joint à plus longue durée de vie (une échelle plus grande), une surveillance d’état qui détecte une fuite avant qu’elle n’arrête l’unité, et des pièces de rechange et une procédure de remplacement rapide qui raccourcissent chaque arrêt. Le remplacement selon l’âge convient aux pièces qui s’usent.
• Tester le changement avant de l’acheter. Dans xellstorm, ajoutez un scénario qui modifie la distribution du joint, par exemple avec la forme et l’échelle du joint à plus longue durée de vie d’un fournisseur, et comparez la probabilité d’une défaillance en un an. Les scénarios utilisent les mêmes tirages aléatoires que le cas de référence ; la différence vient donc du changement et non du bruit d’échantillonnage.
• Répondre à d’autres questions avec la courbe en S. Elle donne la probabilité qu’une unité neuve soit défaillante à un âge donné : la plus longue garantie pendant laquelle au plus 10 % des unités neuves tombent en panne est la durée de vie B10, 1 091 heures.

Ce que suppose le modèle

Les quatre durées de vie sont indépendantes, chaque pièce démarre neuve, et l’unité fonctionne jour et nuit. La probabilité de cette page est celle d’un premier arrêt dans la première année d’une unité neuve : après une réparation, les autres pièces ne sont plus neuves, et le nombre d’arrêts par an exige donc un modèle de réparations, que le fichier peut intégrer avec quelques cellules de plus. Une cause commune, comme une contamination qui raccourcit ensemble les durées de vie du joint et du roulement, se modélise par une corrélation de rang entre leurs entrées. Les formes et les échelles proviennent de données de défaillance et sont elles-mêmes incertaines ; si vous avez observé des durées de vie de pièces défaillantes, l’onglet From data (à partir de données) à côté de chaque entrée, à l’étape Distributions, ajuste une distribution de Weibull, entre autres familles, par maximum de vraisemblance. Il traite chaque valeur comme une durée de vie achevée et ne peut pas utiliser les unités encore en fonctionnement (données censurées). Ajuster seulement les défaillances sous-estime alors les durées de vie, fortement quand de nombreuses unités fonctionnent encore ; dans ce cas, estimez la forme et l’échelle avec une méthode qui gère les suspensions, puis saisissez-les.

Essayez vous-même

1. Ouvrez le modèle dans xellstorm. Les quatre cellules Life sont des entrées, D7 et D8 sont les sorties, et une durée de vie du système inférieure à 8 760 heures est l’objectif ; rien à installer et aucune inscription, et le fichier est calculé dans votre navigateur.
2. Lancez la simulation : avec la même graine et 20 000 itérations, vous obtenez les nombres de cette page. Pour la durée de vie du système, les résultats affichent la moyenne, la probabilité d’atteindre l’objectif (79,0 %), le P10 (1 091) et la moyenne des 5 % de durées de vie les plus courtes ; le tableau des centiles va de P1 à P99.
3. Survolez la courbe en S pour lire la probabilité qu’une unité soit défaillante au bout d’un nombre d’heures donné, ou saisissez une période dans la zone de probabilité, par exemple une garantie ou un intervalle de révision prévu, pour voir la probabilité d’une défaillance avant celle-ci.
4. À l’étape Distributions, modifiez l’échelle du joint ou ajoutez un scénario pour un meilleur joint, puis relancez pour voir comment bouge la probabilité d’une défaillance en un an.
5. Pour que la simulation lise les formes et les échelles dans la feuille, saisissez =B2 dans le champ de forme de la pompe et =C2 dans son champ d’échelle, et ainsi de suite pour chaque ligne. Ouvrez ensuite votre propre modèle de fiabilité et cliquez, sur la carte du modèle, sur les cellules dont vous n’êtes pas sûr.

Puis-je le faire avec Excel seul ?

La solution exacte, oui : pour un système série à durées de vie de Weibull, =1-EXP(-SUMPRODUCT((8760/C2:C5)^B2:B5)) dans ce fichier donne la probabilité d’une défaillance en un an, et =WEIBULL.DIST(8760,B4,C4,TRUE) donne celle du joint seul. Une simulation demande une durée de vie aléatoire dans chaque cellule Life, =C2*(-LN(1-RAND()))^(1/B2) (l’inverse de la fonction de répartition de Weibull), puis une table de données pour répéter le calcul et des formules pour le résumer. La simulation de Monte-Carlo dans Excel présente la méthode. La formule exacte cesse de fonctionner dès que le modèle fait plus que retenir la première défaillance, par exemple avec une pompe redondante ou un temps et un coût de réparation par arrêt ; une simulation du fichier gère tout ce que ses formules calculent.

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