Excel 常態分配：NORM.INV、平均值與標準差
一句話說：鐘形曲線。多數結果落在平均值附近，離平均值愈遠愈少見，左右兩側一樣。
常態分配描述一個以平均值為中心、上下對稱變動的量，離散程度由標準差決定。在 Excel 中，=NORM.INV(RAND(), mean, sd) 可以抽出一個值。以平均 1,000 件、標準差 200 件的需求為例，P10 是 744，P90 是 1,256，約 95% 的結果落在兩個標準差之內，也就是 600 到 1,400。
常態分配是什麼
常態分配就是鐘形曲線：多數結果靠近平均值，離平均值愈遠愈少，兩側左右對稱。兩個數字就能完整決定它：平均值決定中心，這個中心同時也是中位數與最可能值；標準差決定寬度，約三分之二的結果落在平均值上下一個標準差之內。
圖怎麼看：每根長條是 10,000 個模擬值中，落在那一段的個數；線條是理論曲線。長條愈高，值落在那裡的次數愈多。虛線標出 P10 與 P90：十個結果裡有八個落在兩者之間。
| 範圍 | 需求 | 結果占比 |
|---|---|---|
| 平均值 ± 1 個標準差 | 800 – 1,200 | 68.3% |
| 平均值 ± 2 個標準差 | 600 – 1,400 | 95.4% |
| 平均值 ± 3 個標準差 | 400 – 1,600 | 99.7% |
百分位數也由這兩個數字決定：P90 在平均值之上 1.2816 個標準差，P10 在平均值之下同樣的距離，所以有 80% 的結果落在 744 與 1,256 之間。
Excel 中的常態分配
NORM.INV(probability, mean, standard_deviation) 回傳一個值，使指定比例的結果落在它之下。機率固定時，得到的是百分位數；以 RAND() 當機率，就是隨機抽樣，每次工作表重新計算都會抽到新的值。本頁的 Excel 檔案把亂數放在獨立的儲存格，看得出每個抽樣值來自哪個亂數；在單一儲存格裡，抽樣公式是 =NORM.INV(RAND(),D5,F5)。
| 儲存格 | 公式 | 值 |
|---|---|---|
| 亂數 u (I5) | =RAND() | |
| 抽樣值 (J5) | =NORM.INV(I5, | |
| 單一儲存格的抽樣 | =NORM.INV(RAND(), | |
| 平均值 (K5) | =D5 | 1,000 |
| P10 (L5) | =NORM.INV(0.1, | 744 |
| P90 (M5) | =NORM.INV(0.9, | 1,256 |
核對數字：理論值，對照 Excel 與 xellstorm 各 10,000 個抽樣值
| 理論值 | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 平均值 | 1,000 | 998 | 1,000 |
| 標準差 | 200 | 199 | 200 |
| P10 | 744 | 743 | 744 |
| P50（中位數） | 1,000 | 996 | 1,000 |
| P90 | 1,256 | 1,251 | 1,256 |
Excel 用 RAND() 完全隨機抽樣；xellstorm 把抽樣值平均分散在整個範圍（拉丁超立方抽樣），所以統計量更貼近理論值。
反過來問，需求低於某個水準的機率有多大，就用 NORM.DIST(x, mean, standard_deviation, TRUE)：=NORM.DIST(700, 1000, 200, TRUE) 得到 6.7%，也就是該季低於 700 件的機率。舊名稱 NORMINV 與 NORMDIST 仍可使用。一次抽樣只是一個可能的季度；要看不確定性如何影響利潤或庫存水準，模型需要數千次抽樣，這就是蒙地卡羅模擬的做法（見 Excel 蒙地卡羅模擬）。
常態分配適用的情形
- 目標值上下的量測值。加工尺寸、充填重量與量測誤差，都在標稱值上下對稱變動，公差堆疊範例就是如此。
- 許多獨立部分的總和。把許多互不影響的小不確定性加起來，不論每一部分是什麼形狀，總和看起來都像鐘形曲線。統計上稱為中央極限定理。
- 成熟產品的需求，標準差遠小於平均值，如訂購量範例的需求。
不適用的情形
常態分配沒有下限：有一定的機率得到負值。本頁的需求，這個機率可以忽略；但標準差若是 500（平均值的一半），就有 2.3% 的抽樣值會是負的需求。對不能為負、又很分散的量，請改用對數常態分配或伽瑪分配，或把常態分配截斷在 0。
它也是對稱的。成本與工期超支的幅度，通常大於節省的幅度，要表現這種偏態，得用 PERT、三角分配或對數常態分配。而且極端值在它身上極少出現：離平均值超過三個標準差的值幾乎不會發生，會低估價格與報酬率的大幅波動。要讓極端值多出現一些，可用 t 分配（Student's t）。
在 xellstorm 設定常態分配
- 開啟檔案，點選沒把握的儲存格，選「設為輸入」。
- 在「分配」步驟選常態分配，輸入平均值與標準差。執行前，「平均值」與「P10 – P90」欄就會顯示這兩個數字代表什麼。
- 若習慣用低值、典型值與高值，而不是標準差來想，就選取該輸入，用側邊面板的「由估計值」：輸入 P10、P50 與 P90，選常態分配。有過往數值時，「由資料」會對它們配適常態與其他分配，並排出名次。
- 要讓抽樣值維持在 0 以上，開啟參數下方的「截斷／平移／縮放」，把截斷下限設為 0。
已經用 =NORM.INV(RAND(), mean, sd) 抽樣的 Excel 檔案，不必改寫：「由檔案匯入」會把這樣的儲存格轉成常態輸入，平均值與標準差仍連結到原來的儲存格。為增益集建立的模型，也能用同樣方式轉換 RiskNormal、VoseNormal 與 PsiNormal。
常見問題
Excel 怎麼產生常態分配的亂數？
用 =NORM.INV(RAND(), mean, sd)，例如平均 1,000、標準差 200 時，寫成 =NORM.INV(RAND(), 1000, 200)。每次重新計算（F9）都會抽出新的值。把公式往下複製一欄，就有許多抽樣值；它們的平均會趨近輸入的平均值，標準差也趨近輸入的標準差。
NORM.INV 與 NORM.DIST 有什麼不同？
兩者回答相反的問題。NORM.DIST(x, mean, sd, TRUE) 輸入一個值，回傳結果低於該值的機率；NORM.INV(p, mean, sd) 輸入一個機率，回傳低於它的結果占該比例的那個值。以平均 1,000、標準差 200 的需求為例，NORM.INV(0.9, 1000, 200) 是 1,256，把這個值代入 NORM.DIST 就會得到 0.9。
常態分配的 P90 怎麼算？
P90 就是平均值加 1.2816 個標準差，在 Excel 裡是 =NORM.INV(0.9, mean, sd)：平均 1,000、標準差 200 時是 1,256。P10 在平均值之下同樣的距離，是 744，P95 是 1,329。這些都是單一輸入的百分位數；幾個輸入總和的 P90 需要模擬，因為百分位數不能相加（見 P50、P80 與 P90）。
常態分配會出現負值嗎？
會。常態分配向兩個方向無限延伸，所以一定有某個機率出現負值。平均值高出 0 超過約四個標準差時，這個機率極小；標準差是平均值的一半時，機率是 2.3%。不能為負的金額，請把分配截斷在 0，或改用對數常態分配或伽瑪分配。
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