Excel 的 PERT 分配：公式、平均值與使用時機
PERT 分配把三點估算（最小、最可能、最大）轉成從最小值拉伸到最大值的貝他分配，平均值為 (最小 + 4 × 最可能 + 最大) / 6。以營建範例的結構項目為例，估算為 760、820 與 1,010（單位：千美元），平均值就是 841.7。Excel 沒有 PERT 函數，但 =BETA.INV(RAND(), α, β, min, max) 能依 PERT 抽樣。
形狀參數為 α = 1 + 4 × (最可能值 − 最小值) / (最大值 − 最小值)，β = 1 + 4 × (最大值 − 最可能值) / (最大值 − 最小值)。同樣三個數字的三角分配，平均為 863.3，分散得更廣。
什麼是 PERT 分配
三點估算給出可能的最低值、最可能值與最高值。PERT 分配把這三個數字轉成完整的結果範圍：低於最小值、高於最大值的情形不存在，峰值在最可能值，往兩端平滑下降，所以接近極限的值有可能出現，但很罕見。
數學上它是貝他分配。貝他分配是定義在固定區間上的一族分配，形狀由兩個正數 α（alpha）與 β（beta）決定，這裡把 0 到 1 的區間拉伸成最小值到最大值。PERT 選的 α 與 β，讓峰值落在最可能值上，平均值為 (最小 + 4 × 最可能 + 最大) / 6：最可能值算四次，兩端極限各算一次。權重 4 來自 PERT（計畫評核術，Program Evaluation and Review Technique），這是 1950 年代末為美國海軍北極星飛彈計畫發展的專案時程方法，以 (樂觀 + 4 × 最可能 + 悲觀) / 6 估計每項作業的預期工期。專案經理至今仍稱這個式子為 PERT 估算或三點估算，它就是這個分配的平均值。
| 項目 | 公式與範例 |
|---|---|
| 形狀 α | 1 + 4 × (ml − min) / (max − min) = 1 + 4 × (820 − 760) / 250 = 1.96 |
| 形狀 β | 1 + 4 × (max − ml) / (max − min) = 1 + 4 × (1,010 − 820) / 250 = 4.04 |
| 平均值 | (min + 4 × ml + max) / 6 = 5,050 / 6 = 841.7 |
| 標準差 | √((平均值 − min) × (max − 平均值) / 7) = 44.3 |
| 峰值（眾數） | ml = 820 |
平均值 841.7 高於最可能值，因為範圍往上延伸得較遠（820 到 1,010），往下較近（760 到 820）。成本與工期估算通常都有這種偏態，所以最可能成本的總和會偏樂觀，專案應變準備金範例就是如此。舊的 PERT 標準差速算法 (最大值 − 最小值) / 6 只是近似值：這裡是 41.7，上述公式算出的是 44.3。
Excel 中的 PERT 公式
Excel 沒有 PERT 函數，但 BETA.INV(probability, alpha, beta, A, B) 會算出拉伸到 A 至 B 區間的貝他分配值。假設估算的最小、最可能與最大值分別在儲存格 B2、C2 與 D2：
| 項目 | 公式 |
|---|---|
| 隨機抽樣值 | =BETA.INV(RAND(), 1+4*(C2-B2)/(D2-B2), 1+4*(D2-C2)/(D2-B2), B2, D2) |
| 平均值（在 E2） | =(B2+4*C2+D2)/6 |
| 標準差 | =SQRT((E2-B2)*(D2-E2)/7) |
| P90 | =BETA.INV(0.9, 1+4*(C2-B2)/(D2-B2), 1+4*(D2-C2)/(D2-B2), B2, D2) |
以 RAND() 當機率，每次重新計算都會抽出新的值。機率固定時，BETA.INV 直接回傳該百分位數，不需要模擬：結構項目的 0.9 得到 904.1，0.1 得到 786.9。BETAINV 是 Excel 2007 及更早版本的名稱，引數相同。最小值與最大值必須不同，因為兩個形狀公式都要除以 max − min。
單一項目的百分位數不是總額的百分位數：幾個項目的 P90 加總，不等於它們總和的 P90（見 P50、P80 與 P90）。要得到總額，得靠模擬；在一般 Excel 裡，就是收集數千次重新計算的結果，例如用資料表，Excel 蒙地卡羅模擬有詳細說明。
PERT 與三角分配：同樣三個數字，不同的答案
三角分配用同樣的最小、最可能與最大值，但密度從最小值到最可能值呈直線上升，再呈直線下降到最大值。平均值為 (最小 + 最可能 + 最大) / 3：最可能值只算一次，不是四次，所以較遠的那一端把平均值拉得更遠。以結構項目而言，是 2,590 / 3 = 863.3，比 PERT 的 841.7 高出約 22。標準差 √((最小值² + 最可能值² + 最大值² − 最小值 × 最可能值 − 最小值 × 最大值 − 最可能值 × 最大值) / 18) 為 53.3，PERT 則為 44.3。
要看出這對模型有什麼影響，我們用相同的亂數種子，把營建範例的 5,000 次試驗跑了兩次：一次照原樣，結構為 PERT；另一次把結構改成同樣三個數字的三角分配。其他輸入在兩次執行中抽到的值完全相同，每次試驗為結構抽的亂數也相同，所以兩次的差異只來自這一個分配的形狀。
| 結構項目 | PERT | 三角分配 |
|---|---|---|
| 公式算出的平均值 | 841.7 | 863.3 |
| 抽樣值的平均值 | 841.7 | 863.3 |
| 公式算出的標準差 | 44.3 | 53.3 |
| 抽樣值的標準差 | 44.3 | 53.3 |
| 抽樣值的 P10 | 786.9 | 798.7 |
| 抽樣值的 P90 | 904.1 | 941.1 |
| 超過 PERT 的 P90 的抽樣值 | 10.0% | 23.6% |
抽樣值與公式一致，到顯示的小數位數都相同：平均值分別為 841.7 與 863.3。xellstorm 預設的拉丁超立方抽樣在這裡有幫助：它把每個輸入的範圍分成 5,000 個等機率區段，每段恰好抽一個值。三角分配較寬，P10 到 P90 的範圍寬 142.4，PERT 為 117.2；它有 23.6% 的抽樣值超過 PERT 的 P90（904.1），PERT 自己只有 10% 超過。不過並非兩側都較寬：靠近最小值處 PERT 的抽樣值較多，三角分配的 P10 較高，798.7 對 786.9。最可能值靠近低端時，三角分配會把權重移向較長的高值一側；估算左右對稱時，兩端的權重都會變大。
6 個項目只要動一個，總額就會跟著動。結構改為三角分配後，平均總成本從 2,785 升到 2,806，升幅與該項目平均值的升幅相同（其他抽樣值都一樣）；P90 上升 27，超出 2,900 預算的機率從 16.1% 升到 20.8%。
| 總成本 | PERT | 三角分配 |
|---|---|---|
| 平均值 | 2,785 | 2,806 |
| P90 | 2,937 | 2,964 |
| 超出 2,900 預算的機率 | 16.1% | 20.8% |
兩種形狀沒有對錯，只是同樣三個數字的兩種解讀。請有意選擇其中一種，並註明預算依哪一種而定。
何時用 PERT、三角分配或對數常態分配
- PERT 適合專家估算，且最可能值是最有把握的數字：下限與上限已知的成本、工期與數量。平均值接近最可能值，也很少碰到極限，適合最小值與最大值只是預期不會達到的界限。
- 三角分配適合接近極限的值也很實際，或想用同樣三個數字得到較保守的分散程度：偏態的估算中，它把更多權重放在較長的一側，所以平均值與較高的百分位數都較高。它也容易說明，密度只是兩條直線。
- 對數常態分配適合沒有明確最大值的情形：可能超支數倍的成本、損失或工期，以及其他不會低於零、右側有長尾的量。它由一個典型值與一個分散程度決定，不是由極限決定。
- 配適的分配適合這三個數字根本不是極限的情形。專家說的「低」與「高」若是十分之一的情況（P10 與 P90），用它們當最小值與最大值的 PERT，會漏掉其外側 20% 的結果；請改對這些百分位數配適分配。有歷史資料就對資料配適。
圍繞目標值的對稱變異，例如加工尺寸，通常用常態分配，公差堆疊範例就是如此。
在 xellstorm 中輸入 PERT 分配
xellstorm 在瀏覽器計算 Excel 檔案，分配另外保存，所以檔案裡不需要 BETA.INV 公式：
- 開啟檔案，在模型圖上點選沒把握的儲存格，選 Make input。新的輸入預設為 PERT，範圍是該儲存格已儲存值的 90% 到 110%。
- 在 Distributions 步驟，Distribution 欄維持 PERT，輸入最小、最可能與最大值。Shape、Mean 與 P10 – P90 欄會隨輸入即時更新，執行前就能看到這三個數字代表什麼。
- 估算值若已在檔案裡，放在輸入旁、標示為 Min、Likely 與 Max（或 Low、Base 與 High）的儲存格，側邊面板會出現「Link to these cells」：PERT 之後每次執行前都會讀這些儲存格，所以改了工作表，再開啟修改後的檔案並套用已儲存的專案，修改就會帶過來。風險登記冊範例就是這樣運作。
- 低值與高值若是 P10 與 P90，不是極限，就把它們連同當作 P50 的典型值，輸入側邊面板的「Fit from estimates」，形狀選 PERT、Normal、Lognormal 或 Triangular；xellstorm 會找出該形狀中最接近的分配，並顯示配適誤差。「From data」分頁則改用歷史值配適。
- 要比較形狀，新增一個把該輸入的分配改成 Triangular 的情境，輸入同樣三個數字。情境使用相同的隨機抽樣，Results 步驟會拿每個情境和基準情境比較。
專為 @RISK、ModelRisk 或 Analytic Solver 建立的 Excel 檔案常含有 PERT 函數（RiskPert、VosePERT、PsiPert）。「Import from workbook」會把獨立的函數，或乘上一個正乘數再加減至多一個偏移量的函數轉成輸入，VosePERT(E7,1,F7)*D7 就是一例。引數與乘數若用到儲存格，會連同算術運算保持連結，並在套用各情境的固定儲存格之後重新讀取。上方的 BETA.INV 公式也會轉成等效的貝他輸入：兩個形狀計算和最小值、最大值仍連結到儲存格。其中明確的除法仍要求最小值與最大值不同。最小、最可能與最大值全部相等的 PERT 輸入，只會抽出那一個值。
常見問題
PERT 分配的平均值公式是什麼？
PERT 分配的平均值是 (最小 + 4 × 最可能 + 最大) / 6：最可能值加權四次，兩端極限各一次。估算為 760、820 與 1,010 時，結果是 5,050 / 6 = 841.7。專案管理把同一個式子稱為 PERT 估算或三點估算。
PERT 分配的標準差是多少？
PERT 分配的標準差是 √((平均值 − 最小值) × (最大值 − 平均值) / 7)。速算法 (最大值 − 最小值) / 6 只是近似：估算為 760、820 與 1,010 時，速算法得到 41.7，精確值則是 44.3。
PERT 分配與貝他分配相同嗎？
PERT 分配是一種特定的貝他分配：拉伸成從最小值到最大值，形狀參數由最可能值決定，α = 1 + 4 × (最可能值 − 最小值) / (最大值 − 最小值)，β = 1 + 4 × (最大值 − 最可能值) / (最大值 − 最小值)。形狀參數不同的貝他分配就不是 PERT。因為是貝他分配，Excel 的 BETA.INV 就能抽樣。
該用 PERT 還是三角分配？
PERT 與三角分配用同樣的最小、最可能與最大值，但三角分配分散得更廣，偏態的估算上還偏向較長的一側：結構估算為 760、820 與 1,010（單位：千美元），三角分配的平均值為 863.3，PERT 則為 841.7。最可能值是最有把握的數字、極限很少碰到時用 PERT；想要較保守的分散程度，或接近極限的值也很實際時，用三角分配。
如何在 Excel 中取得 PERT 分配的 P90？
單一 PERT 輸入的 P90，直接用機率 0.9 的 BETA.INV 就能得到：=BETA.INV(0.9, 1+4*(ml-min)/(max-min), 1+4*(max-ml)/(max-min), min, max)，估算為 760、820 與 1,010 時結果是 904.1；本頁 5,000 次模擬抽樣得到 904.1，與它相符，這得益於拉丁超立方抽樣（範圍的每個等機率區段各抽一個值）。若要得到數個不確定項目總額的 P90，就要模擬：百分位數不能相加。
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