Excel 伽瑪分配：等待時間、總和與 GAMMA.INV
一句話說：連續等待數次的總時間，例如一件接一件的三次維修。更一般地說，是右側有長尾的正值量。
伽瑪分配描述右側有長尾的正值量，尤其適合連續數個隨機步驟的總時間。形狀參數與尺度參數決定它，平均值是形狀參數 × 尺度參數。在 Excel 中，=GAMMA.INV(RAND(), shape, scale) 可以抽樣。連續三次維修，每次平均 2 天、分散程度如指數分配，總時間服從形狀參數 3、尺度參數 2 的伽瑪分配：平均 6.0 天，有 12.5% 的機率超過 10 天。
伽瑪分配是什麼
先從指數分配說起，它是一次隨機事件的等待時間。連續等待數次這樣的事件，總時間就服從伽瑪分配：形狀參數是步驟數，尺度參數是每一步的平均值。形狀參數不必是整數，所以伽瑪分配是一族靈活的分配，適合任何恆為正、右偏的量：降雨量、保險理賠、工期、需求。
圖怎麼看：每條線是連續等待 1 次、3 次或 8 次的總時間。只等 1 次時，短的時間最常見；加總的次數愈多，總時間愈集中在平均值附近。
公式：平均值、標準差、峰值，以及由平均值與標準差求得
| 項目 | 公式與範例 |
|---|---|
| 平均值 | k × θ = 6.0 天 |
| 標準差 | √k × θ = 3.46 天 |
| 峰值（眾數） | (k − 1) × θ（k ≥ 1） = 4.0 天 |
| 由平均值與標準差求得 | k = (平均值 / 標準差)²，θ = 標準差² / 平均值 |
Excel 中的伽瑪分配
GAMMA.INV(probability, alpha, beta) 的 alpha 是形狀參數，beta 是尺度參數。有些教科書改用速率（1 / 尺度參數）來寫伽瑪分配；Excel 用的是尺度參數，所以每天 0.5 的速率，對應 beta 為 2。在單一儲存格裡，抽樣公式是 =GAMMA.INV(RAND(),D17,F17)，GAMMA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) 則得到低於 x 的機率：=1-GAMMA.DIST(10, 3, 2, TRUE) 就是超過 10 天的機率 12.5%。
| 儲存格 | 公式 | 值 |
|---|---|---|
| 亂數 u (I17) | =RAND() | |
| 抽樣值 (J17) | =GAMMA.INV(I17, | |
| 單一儲存格的抽樣 | =GAMMA.INV(RAND(), | |
| 平均值 (K17) | =D17*F17 | 6.00 |
| P10 (L17) | =GAMMA.INV(0.1, | 2.20 |
| P90 (M17) | =GAMMA.INV(0.9, | 10.64 |
核對數字：理論值，對照 Excel 與 xellstorm 各 10,000 個抽樣值
| 理論值 | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 平均值 | 6.00 | 5.97 | 6.00 |
| 標準差 | 3.46 | 3.50 | 3.46 |
| P10 | 2.20 | 2.19 | 2.20 |
| P50（中位數） | 5.35 | 5.28 | 5.35 |
| P90 | 10.64 | 10.69 | 10.64 |
Excel 用 RAND() 完全隨機抽樣；xellstorm 把抽樣值平均分散在整個範圍（拉丁超立方抽樣），所以統計量更貼近理論值。
該用伽瑪還是對數常態分配？
兩者都恆為正、向右偏，平均值與標準差相同時，中間部分看起來很像。差別在上側的長尾：對數常態分配的比較重。以維修的平均值 6.0、標準差 3.46 去配對，對數常態分配得到超過 20 天的機率是 0.6%，伽瑪分配是 0.3%。罕見的極大值很重要時（損失、超支），這個差別也很重要：兩者都對資料配適再比較，或為求謹慎，選長尾較重的那個。見對數常態分配。
在 xellstorm 設定伽瑪分配
- 把儲存格設為輸入，在「分配」步驟選伽瑪分配。輸入 a（形狀參數）與 scale；loc 會把起點從零平移開，通常為 0。
- 有過往數值時，側邊面板的「由資料」會配適從零起算的伽瑪分配，並與對數常態、韋伯等形狀一起排名。
「由檔案匯入」會把 =GAMMA.INV(RAND(), alpha, beta) 轉成伽瑪輸入；增益集模型則可轉換 RiskGamma、RiskErlang、VoseGamma 與 PsiGamma。
常見問題
Excel 怎麼產生伽瑪分配的亂數？
用 =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale)，例如平均 6.0 就寫 =GAMMA.INV(RAND(), 3, 2)。每次重新計算都會抽出新的值。
伽瑪分配的形狀參數與尺度參數代表什麼？
形狀參數決定形態：1 是指數分配，愈大，隆起愈接近對稱。尺度參數決定伸展程度：平均值是形狀參數 × 尺度參數，標準差是 √形狀參數 × 尺度參數。
伽瑪分配與指數分配有什麼關係？
指數分配就是形狀參數為 1 的伽瑪分配。幾次平均值相同、彼此獨立的指數時間相加，就是伽瑪分配：形狀參數是次數，尺度參數是那個平均值（又稱 Erlang 分配）。
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