Excel 三角分配：公式、平均值，以及與 PERT 的比較
一句話說：把低值、最可能值與高值變成機率，最簡單的做法。機率直線上升到最可能值，再直線下降到高值。
三角分配把三點估算轉成機率：從最小值到最可能值呈直線上升，再呈直線下降到最大值。平均值是 (最小 + 最可能 + 最大) / 3：成本估算為 80、100 與 140（單位：千美元）時，平均值是 106.7，P90 是 124.5。Excel 沒有三角分配函數，但一個含 RAND() 與 SQRT 的公式就能抽樣。
三角分配是什麼
三個數字決定它：最小值，低於它不會有任何結果；最大值，高於它也不會有；還有最可能值，也就是密度的峰值。三者之間，密度是兩條直線，所以要把專家給的低值、最可能值與高值變成完整的結果範圍，這是最簡單的做法。
公式：平均值、標準差、中位數
| 項目 | 公式與範例 |
|---|---|
| 平均值 | (min + ml + max) / 3 = 320 / 3 = 106.7 |
| 標準差 | √((min² + ml² + max² − min × ml − min × max − ml × max) / 18) = 12.5 |
| 低於最可能值的機率 | (ml − min) / (max − min) = 20/60 = 33.3% |
| 中位數（P50） | 105.4 |
最可能值較靠近最小值時，長的一側在它的上方：三分之二的結果高於最可能成本，平均值 106.7 也遠高於它。這就是把最可能值加總的預算，通常偏低的原因。
Excel 中的三角分配
Excel 的 RAND() 給出 0 到 1 之間的亂數 u，再用公式轉成三角分配的值：u 小，值就靠近最小值；u 大，值就靠近最大值，間隔的安排，讓範圍內每一段都分到該有的抽樣數。u 小於最可能值下方所占的比例時，值是 min + √(u × (max − min) × (ml − min))；否則是 max − √((1 − u) × (max − min) × (max − ml))。公式用到兩次 u，所以 u 要放在獨立的儲存格：兩個各自的 RAND() 會得到兩個不同的數字，分配也會錯。檔案裡，u 在 I7，抽樣值在 J7：
| 儲存格 | 公式 | 值 |
|---|---|---|
| 亂數 u (I7) | =RAND() | |
| 抽樣值 (J7) | =IF(I7<(F7-D7)/(H7-D7), | |
| 平均值 (K7) | =(D7+F7+H7)/3 | 106.7 |
| P10 (L7) | =IF(0.1<(F7-D7)/(H7-D7), | 91.0 |
| P90 (M7) | =IF(0.9<(F7-D7)/(H7-D7), | 124.5 |
核對數字：理論值，對照 Excel 與 xellstorm 各 10,000 個抽樣值
| 理論值 | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 平均值 | 106.7 | 106.7 | 106.7 |
| 標準差 | 12.5 | 12.6 | 12.5 |
| P10 | 91.0 | 90.6 | 91.0 |
| P50（中位數） | 105.4 | 105.6 | 105.4 |
| P90 | 124.5 | 124.7 | 124.5 |
Excel 用 RAND() 完全隨機抽樣；xellstorm 把抽樣值平均分散在整個範圍（拉丁超立方抽樣），所以統計量更貼近理論值。
把 u 換成固定的機率，不用模擬就能得到百分位數：0.9 得到 P90，也就是 124.5。表中的兩組抽樣值，都重現了理論值。
三角分配與 PERT：三個數字相同，兩端的權重不同
PERT 分配用同樣的最小值、最可能值與最大值，但在其間畫出平滑的曲線。檔案裡兩者都有，在第 7 列與第 8 列：
圖怎麼看：線愈高，下方的值愈可能。兩種形狀都從最小值開始，在最可能值達到峰值，到最大值結束；三角分配在兩端都比較高。
| 三角分配 | PERT | |
|---|---|---|
| 平均值 | 106.7 | 103.3 |
| 標準差 | 12.5 | 11.1 |
| P10 | 91.0 | 89.2 |
| P90 | 124.5 | 118.7 |
| 高於 134 的機率 | 1.5% | 0.1% |
三角分配在極限附近保有較多權重：成本高於 134 的機率是 1.5%，PERT 則是 0.1%。它的平均值把最可能值算一次，不是四次，所以估算偏斜時平均值較高（106.7 對 103.3），P90 也較高（124.5 對 118.7）。兩者沒有誰比較正確，只是對同樣三個數字有不同的解讀。
- 選三角分配：接近上下限的值也很實際，或想從同樣的估算得到較保守的分散程度。
- 選 PERT：最可能值是最有把握的數字，而上下限是預期不會碰到的界限。
- 兩者都不選：低值與高值不是上下限，而是十次有一次的情況（P10 與 P90）。若把它們當成最小與最大，兩端之外 20% 的結果就漏掉了；改為對百分位數配適分配，或選由百分位數定義的三角分配。
在 xellstorm 設定三角分配
- 把儲存格設為輸入，在「分配」步驟選三角分配。輸入最小、最可能與最大；「平均值」與「P10 – P90」欄會隨輸入更新。
- 若低值與高值是 P10 與 P90，改選由百分位數定義的三角分配，把它們填入下限與上限，下限 % 設 10、上限 % 設 90；或選取該輸入，用側邊面板的「由估計值」配適分配。並非每組百分位數都能剛好配成三角分配；面板會顯示最接近的那個差多少。
- 要比較同一組估算的不同解讀，新增一個把輸入改成 PERT 的情境。情境與基準情境用同樣的亂數，所以差異只來自形狀。
增益集的模型可轉換 RiskTriang、VoseTriangle 與 PsiTriangular，RiskTrigen 則轉成由百分位數定義的三角分配。
常見問題
Excel 怎麼產生三角分配的亂數？
在一個儲存格放亂數 =RAND()，再在另一個儲存格用反函數公式把它轉成抽樣值。亂數在 I7、最小值在 D7、最可能值在 F7、最大值在 H7 時：=IF(I7<(F7-D7)/(H7-D7),D7+SQRT(I7*(H7-D7)*(F7-D7)),H7-SQRT((1-I7)*(H7-D7)*(H7-F7)))。本頁的 Excel 檔案已備好，可直接複製。
三角分配的平均值是多少？
平均值是 (最小 + 最可能 + 最大) / 3。估算為 80、100 與 140 時，是 320 / 3 = 106.7。同樣數字的 PERT，平均值是 (最小 + 4 × 最可能 + 最大) / 6 = 103.3。
三角分配的 P90 怎麼算？
用抽樣公式，把亂數換成 0.9：估算為 80、100 與 140 時，=IF(0.9<(F7-D7)/(H7-D7),D7+SQRT(0.9*(H7-D7)*(F7-D7)),H7-SQRT((1-0.9)*(H7-D7)*(H7-F7))) 得到 124.5。這是單一項目的 P90；幾個項目的總和要用模擬，因為百分位數不能相加。
三角分配與 PERT，哪個比較保守？
同樣三個數字，三角分配分散得更廣，在極限附近有更多權重。估算右偏時，它的平均值與 P90 都比較高，所以是較謹慎的解讀。估算對稱時，兩者平均值相同，三角分配則是兩側都更寬。
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