需求不確定時，該訂購多少件？

實作範例 · 訂購量 · 更新於 2026年10月

訂購量要取需求有 66.7% 的時間低於它的那個數量，也就是臨界分位數：需求平均 1,000 件（標準差 200），每件售價 10、成本 4、剩貨殘值 1，這個數量就是 1,086.1 件，預期利潤為 5,345.5。用蒙地卡羅搜尋範例 Excel 檔案，選出最接近這個最佳值的間隔值 1,090 件。

臨界分位數這一點的意思是：多賣出一件的機率乘以獲利，剛好等於它賣不掉的機率乘以損失；若流失一筆銷售放棄的利潤高於一件剩貨的成本，這一點就高於需求中位數（需求有一半時間會超過的水準）。這個範例的需求是常態分配，中位數就是平均值，金額以 Excel 檔案的貨幣單位計。搜尋範圍是 600 至 1,600 件的訂購量，以 10 件為間隔；訂購 1,090 件時，平均利潤為 5,345 ± 31（95% 信賴區間，5,000 個模擬銷售季），有 32.6% 的銷售季需求超過庫存。

模型

這就是報童問題（newsvendor）：銷售季開始前只下一次訂單，需求只知道是一段可能的範圍，賣不完的商品在季末低價出清，超過訂購量的需求就流失了。Excel 檔案只有一張工作表 Model，A 欄是標籤，B 欄是數值：

四個公式把訂購量與需求值轉成該銷售季的結果：售出件數（Sold），=MIN(B1,B6)；剩貨件數（Leftover），=MAX(B1-B6,0)；利潤（Profit），=B2*B8+B4*B9-B3*B1，即銷售收入加殘值，再減去整批訂購的成本；以及缺貨損失（Lost sales），=MAX(B6-B1,0)，也就是訂購量滿足不了的需求。這裡的缺貨指有缺貨損失的銷售季：需求高於訂購量。沒有增益集函數。

下載的檔案有這些公式、1,000 件的訂購量，以及需求儲存格裡固定的預留值。需求分配、兩個輸出（Profit 與 Lost sales）、缺貨目標與最佳化研究，都在 xellstorm 裡設定，隨範例一起載入，放在 Excel 檔案旁邊；Excel 檔案本身維持一般自建的樣子。

常態分配原則上允許負的需求，但零在平均值之下 5 個標準差處，機率約為 3.5 百萬分之 1；5,000 個模擬需求中最低的是 200 件。需求以連續數字抽出，所以銷售量、剩貨量與下文目標搜尋得到的訂購量都可能有小數；下訂單時請四捨五入成整數件。

為什麼要訂得比平均需求多？

想想訂購的最後一件。賣出去，賺價格減成本，10 − 4 = 6；賣不掉，虧成本減殘值，4 − 1 = 3。只要賣出的機率乘以 6，大於賣不掉的機率乘以 3，多訂一件就划算；也就是賣出的機率只要高於 3 / (6 + 3) = 33.3%。訂購量等於平均需求 1,000 件時，下一件有一半的機率賣出，所以訂得更多划算。多訂到需求有 66.7% 的時間低於訂購量，就不再划算。

模擬逐個銷售季重現同樣的算術。在同樣的 5,000 個模擬銷售季上，訂購 1,090 件而非 1,000 件：需求達到 1,090 件的銷售季（占 32.6%），恰好多賺 540（90 × 6）；需求不超過 1,000 件的銷售季（占 50%），恰好少賺 270（90 × 3）；介於兩者之間的銷售季，差額落在這兩個數字之間。平均而言，較大的訂購量每個銷售季多賺 63.5，和下方公式算出的理論值相同（63.5）。

理論值：臨界分位數

這條規則叫臨界分位數：最佳訂購量 Q* 是「不被超過的機率」等於 (價格 − 成本) / (價格 − 殘值) 的需求水準，這裡為 (10 − 4) / (10 − 1) = 0.667。需求為常態分配時，Q* = 平均值 + z × 標準差，其中 z = 0.4307 是標準常態分配下方機率為 66.7% 的點（Excel 用 =NORM.S.INV(6/9)）。所以 Q* = 1,000 + 0.4307 × 200 = 1,086.1 件。

預期利潤也有解析解。任一訂購量 Q，令 z = (Q − 平均值) / 標準差，預期利潤為 (價格 − 殘值) × (平均值 − 標準差 × L(z)) − (成本 − 殘值) × Q，其中 L(z) = φ(z) − z × (1 − Φ(z)) 是標準常態損失函數，φ 是標準常態密度函數，Φ 是其累積分配函數（Excel 用 =NORM.S.DIST(z,FALSE)-z*(1-NORM.S.DIST(z,TRUE))）；標準差 × L(z) 就是預期缺貨損失。到了 Q*，式子化簡為 (價格 − 成本) × 平均值 − (價格 − 殘值) × 標準差 × φ(z) = 5,345.5，缺貨機率為 1 − 0.667 = 33.3%。改訂平均需求 1,000 件，預期利潤則為 5,281.9。

用模擬搜尋訂購量

公式要求模型夠簡單（單一產品、一次訂購、價格固定），需求分配的分位數與預期缺貨損失也要有公式可用；模擬只需要能抽出需求，本例也驗證它找到相同的答案。隨範例載入的最佳化研究，以訂購量（B1）為決策，從 600 到 1,600 件、每 10 件試一次，共 101 個候選方案，目標是讓 Profit 的平均值最大。另有一項限制條件：缺貨機率（Lost sales 大於零的試驗所占比例）至多為 50%。每個候選方案用 1,000 次試驗模擬，最好的三個再用 5,000 次試驗重跑，每次都用同一組需求亂數。這就是共同亂數：候選方案之間的差異只來自訂購量，而不是抽到的運氣。

重新執行選出 1,090 件：平均利潤為 5,345 ± 31，這個訂購量的理論值為 5,345.4，缺貨的銷售季占 32.6%（理論值：32.6%）。這是最接近理論最佳值 1,086.1 的間隔值，預期利潤的理論值 5,345.5 也落在區間內。

前三名訂購量的區間幾乎完全重疊，勝出者卻很明確。每個區間是 xellstorm 對該候選方案平均值雜訊的估計，依其試驗分成 20 批、看各批平均值的差異而得。xellstorm 預設的拉丁超立方抽樣，會把每次執行的抽取值均勻分散在需求分配上，整次執行的平均值比區間顯示的更穩定：換另外 3 個亂數種子重新執行，1,090 件的平均利潤與本次的差距都在 0.2 以內。

要在候選方案之間做取捨，看的是它們的差異；而相同的抽取值會讓所有候選方案同升同降，所以差異比各自的區間穩定得多。逐個銷售季比較，訂購 1,090 件勝過 1,100 件，利潤高出 1.43（95% 信賴區間 0.47 至 2.39），區間不含零：優勢不是偶然，但差距很小。預期利潤差距的理論值為 1.43。頂點附近的利潤曲線很平坦，差一個間隔幾乎沒有代價；在範圍兩端，也就是 600 與 1,600 件，預期利潤降為 3,585 與 4,199。

搜尋本身把 1,100 件排第一，平均利潤為 5,370.3，1,090 件則為 5,369.9。搜尋只用 5,000 次試驗中的前 1,000 次，而這些試驗碰巧抽到略高的需求，平均 1,003.7 件，全部試驗平均為 1,000.0 件，使頂點附近較大訂購量的利潤升高，把峰值往上推了一個間隔。用 5,000 次試驗重新執行後就能定案；重新執行若改變了勝出者，xellstorm 也會明確指出。

限制條件，以及減少缺貨的代價

缺貨限制條件在此並未起作用。它排除了 1,000 件或更少的訂購量（訂購 1,000 件時，搜尋的試驗有 51.6% 發生缺貨）：需求為常態分配時，訂購量等於平均值，有一半的時間會缺貨。最佳訂購量已把缺貨機率降到 32.6%。

若 32.6% 的銷售季缺貨仍嫌太頻繁，例如顧客看到貨架空了就不再回來，就選定能接受的機率，讓目標搜尋找出訂購量。xellstorm 的目標搜尋會把訂購量範圍一再對半縮小，直到統計量達到目標。每次評估用 5,000 次試驗，經過 7 次評估找到 1,256.25 件，這時恰有 10% 的試驗缺貨。理論值是需求有 90% 機率不被超過的水準：1,000 + 200 × NORM.S.INV(0.9) = 1,256.3 件。

把缺貨機率從 32.6% 降到 10%，要多訂 166 件，其中平均每個銷售季有 133 件賣不掉，每季平均利潤也少 199（3.7%；兩個訂購量的預期利潤差距，理論值為 199.4）。P10 利潤（90% 的銷售季能達到的水準）也會從 3,425 降到 2,926：需求疲弱的銷售季，訂得多就有更多庫存賣不出去（請參閱 P50、P80 與 P90）。只訂平均需求的方案，P10 利潤是三者中最高，但有 50% 的銷售季缺貨。少缺貨值不值得這個代價，是商業上的決定；模擬則把這個代價算成數字。

親自試試

1. 在 xellstorm 開啟模型。需求分配、輸出 Profit 與 Lost sales、目標（Lost sales 大於零，即缺貨機率）以及最佳化研究都已設好；不必安裝，也不必註冊，Excel 檔案直接在瀏覽器計算。
2. 執行看看。以儲存的訂購量 1,000 件、範例的亂數種子（7）與 5,000 次試驗執行，平均利潤為 5,282，缺貨機率為 50%。
3. 開啟 Optimize 步驟。訂購量（Model!B1）是決策儲存格，範圍從 600 到 1,600，間隔 10；目標是讓 Profit 的平均值最大，限制條件是 Lost sales 大於零的機率至多為 50%。按下 Optimize：應用程式用 1,000 次試驗評估每一種訂購量，用 5,000 次試驗重跑最好的三個，逐次試驗比較勝出者與次佳者，並畫出各訂購量的平均利潤圖與 95% 區間帶。
4. 要找缺貨機率為 10% 的訂購量，選擇 Goal seek：統計量設為 Probability，條件設為 >、門檻為 0（對象為 Lost sales），目標設為 0.1；清除訂購量的 Step 欄位（它保留了研究中的 10），Trials per evaluation 設為 5,000，再按下 Seek goal。
5. 按下 Set as fixed cells，再執行一次模擬，就能取得所選訂購量的完整結果；或按下 Add as scenario，在相同的抽取值上與已儲存的訂購量比較。

只用 Excel 也做得到嗎？

這個特例做得到：需求為常態分配時，=NORM.INV((B2-B3)/(B2-B4), 1000, 200) 直接傳回臨界分位數的訂購量 1,086.1。需求偏態時，把 NORM.INV 換成該分配的反函數（LOGNORM.INV、GAMMA.INV，或對過去銷量用 PERCENTILE.INC）即可。但只要多項產品共用預算或倉庫、有最低訂購量，或降價出清的價格取決於剩下多少，這條規則就不再適用。模擬處理得了這些情況，但在一般 Excel 裡對模擬模型做最佳化並不順手：每次重新計算都會抽出新的亂數，資料表或規劃求解會在不同的亂數上比較各個訂購量，追的是雜訊。在同一組固定的亂數上評估每個候選方案，正是 xellstorm 替您做的事。Excel 蒙地卡羅模擬說明一般的做法。

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