Excelのガンマ分布：待ち時間、合計、GAMMA.INV
ひとことで言うと：3件の修理を続けて行うときのように、何回か続く待ち時間の合計です。もっと一般には、右に裾が伸びる正の量です。
ガンマ分布は、右に裾を持つ正の量を表し、特に、ランダムな工程が何回か続いたときの合計時間を表します。形状パラメーターと尺度パラメーターで決まり、平均は形状パラメーター × 尺度パラメーターです。Excelでは =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale) で値を引けます。1回の平均が2日で、ばらつきが指数分布に従う修理を3回続けると、合計は、形状パラメーター3、尺度パラメーター2のガンマ分布になります。平均は6.0日で、12.5%のケースで10日を超えます。
ガンマ分布とは
まず指数分布から始めます。ランダムな事象が1回起きるまでの待ち時間です。そうした事象を何回か続けて待つと、合計はガンマ分布になります。形状パラメーターは工程の数、尺度パラメーターは1回あたりの平均です。形状パラメーターは整数でなくてもよいので、ガンマ分布は、降雨量、保険金請求、所要期間、需要など、正の値で右に歪むあらゆる量に使える柔軟な分布です。
グラフの見方：線は、待ち時間が1回、3回、8回続いたときの合計時間です。1回だけなら短い時間が最も多く、回数が増えるほど、合計は平均のまわりに集まります。
数式：平均、標準偏差、山の位置、平均と標準偏差からの求め方
| 量 | 数式と計算例 |
|---|---|
| 平均 | k × θ = 6.0日 |
| 標準偏差 | √k × θ = 3.46日 |
| 山の頂点（最頻値） | (k − 1) × θ（k ≥ 1のとき） = 4.0日 |
| 平均と標準偏差から求める | k = (mean / sd)², θ = sd² / mean |
Excelでのガンマ分布
GAMMA.INV(probability, alpha, beta) は、形状パラメーターをアルファ、尺度パラメーターをベータとして受け取ります。教科書によっては、ガンマ分布を尺度ではなく、その逆数の率（1 / 尺度）で書くこともあります。Excelは尺度を使うので、1日あたり0.5の率は、ベータ2にあたります。1つのセルにまとめると、数式は =GAMMA.INV(RAND(),D17,F17) です。GAMMA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) は、値がx以下になる確率を返し、=1-GAMMA.DIST(10, 3, 2, TRUE) は、10日を超える確率の12.5%です。
| セル | 数式 | 値 |
|---|---|---|
| 乱数 u（I17） | =RAND() | |
| 引いた値（J17） | =GAMMA.INV(I17, | |
| 1つのセルで引く | =GAMMA.INV(RAND(), | |
| 平均（K17） | =D17*F17 | 6.00 |
| P10 (L17) | =GAMMA.INV(0.1, | 2.20 |
| P90 (M17) | =GAMMA.INV(0.9, | 10.64 |
数値の確認：理論値と、Excelとxellstormがそれぞれ引いた10,000個の値の比較
| 理論値 | Excel（RAND()） | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 平均 | 6.00 | 5.97 | 6.00 |
| 標準偏差 | 3.46 | 3.50 | 3.46 |
| P10 | 2.20 | 2.19 | 2.20 |
| P50（中央値） | 5.35 | 5.28 | 5.35 |
| P90 | 10.64 | 10.69 | 10.64 |
Excelは RAND() で完全にランダムに引きます。xellstormは範囲全体に均等に散らして引く（ラテンハイパーキューブサンプリング）ので、統計値が理論値に近くなります。
ガンマ分布か、対数正規分布か
どちらも正の値で右に歪んでおり、平均と標準偏差が同じなら、中央付近は似て見えます。違いは裾にあり、対数正規分布の方が重くなります。修理の平均6.0、標準偏差3.46に合わせた場合、20日を超える確率は、対数正規分布で0.6%、ガンマ分布で0.3%です。まれに出る非常に大きな値が重要な場合（損失、超過など）は、この差も重要です。両方をデータに当てはめて比べるか、慎重を期して裾の重い方を選びます。対数正規分布を参照してください。
xellstormでガンマ分布を入力する
- セルを入力にして、「分布」ステップでガンマ分布を選びます。a（形状パラメーター）とscaleを入力します。locは開始位置をゼロからずらす値で、通常は0です。
- 過去の値があれば、サイドパネルの「データから」で、ゼロから始まるガンマ分布を、対数正規分布、ワイブル分布などと並べて当てはめ、順位を付けます。
「Excelファイルから取り込み」は、=GAMMA.INV(RAND(), alpha, beta) をガンマ分布の入力に変換します。アドイン向けのモデルは、RiskGamma、RiskErlang、VoseGamma、PsiGamma から変換できます。
よくある質問
Excelでガンマ分布の乱数を作るには？
=GAMMA.INV(RAND(), shape, scale) を使います。たとえば平均6.0なら =GAMMA.INV(RAND(), 3, 2) です。再計算のたびに新しい値が出ます。
ガンマ分布の形状パラメーターと尺度パラメーターは何ですか？
形状パラメーターは分布の形を決めます。1なら指数分布で、大きくなるほど、山は左右対称に近づきます。尺度パラメーターは分布を引き伸ばし、平均は形状パラメーター × 尺度パラメーター、標準偏差は√形状パラメーター × 尺度パラメーターです。
ガンマ分布と指数分布は、どう関係していますか？
指数分布は、形状パラメーターが1のガンマ分布です。平均が同じ独立な指数分布の時間をいくつか足し合わせると、時間の数を形状パラメーター、その平均を尺度パラメーターとするガンマ分布になります（アーラン分布とも呼ばれます）。
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