Distribuição gama no Excel: tempos de espera, totais e GAMMA.INV
Resumindo: o tempo total de várias esperas em sequência, como três reparos um depois do outro. De forma mais geral, uma grandeza positiva com cauda à direita.
A distribuição gama descreve uma grandeza positiva com cauda à direita e, em especial, o tempo total de várias etapas aleatórias em sequência. Um parâmetro de forma e um de escala a definem; a média é forma × escala. No Excel, =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale) sorteia valores dela. Três reparos em sequência, cada um com duração média de 2 dias e dispersão exponencial, somam um total com distribuição gama de forma 3 e escala 2: 6,0 dias em média, e mais de 10 dias em 12,5% dos casos.
O que é a distribuição gama
Comece pela distribuição exponencial, o tempo de espera de um evento aleatório. Espere vários eventos desses em sequência, e o total tem distribuição gama: a forma é o número de etapas e a escala, a média de cada uma. A forma não precisa ser um número inteiro, o que faz da gama uma família flexível para qualquer grandeza positiva e assimétrica à direita: chuva, sinistros de seguros, durações, demanda.
Como ler o gráfico: cada linha é o tempo total de 1, 3 ou 8 esperas em sequência. Com uma espera, os tempos curtos são os mais comuns; quanto mais esperas se somam, mais o total se concentra em torno da média.
Fórmulas: média, desvio padrão, pico e a partir de uma média e um desvio padrão
| Grandeza | Fórmula e exemplo |
|---|---|
| Média | k × θ = 6,0 dias |
| Desvio padrão | √k × θ = 3,46 dias |
| Pico (moda) | (k − 1) × θ, para k ≥ 1 = 4,0 dias |
| A partir de uma média e um desvio padrão | k = (média / dp)², θ = dp² / média |
A distribuição gama no Excel
GAMMA.INV(probability, alpha, beta) (INV.GAMA no Excel em português) recebe a forma como alfa e a escala como beta. Alguns livros escrevem a gama com uma taxa, 1 / escala; o Excel usa a escala, então uma taxa de 0,5 por dia é um beta de 2. Em uma célula, um sorteio é =GAMMA.INV(RAND(),D17,F17), e GAMMA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) (DIST.GAMA) dá a chance de um valor abaixo de x: =1-GAMMA.DIST(10, 3, 2, TRUE) é a chance de 12,5% de levar mais de 10 dias.
| Célula | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| Número aleatório u (I17) | =RAND() | |
| Sorteio (J17) | =GAMMA.INV(I17, | |
| Sorteio em uma célula | =GAMMA.INV(RAND(), | |
| Média (K17) | =D17*F17 | 6,00 |
| P10 (L17) | =GAMMA.INV(0.1, | 2,20 |
| P90 (M17) | =GAMMA.INV(0.9, | 10,64 |
Conferir os números: valores exatos contra 10.000 sorteios do Excel e do xellstorm
| Exato | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Média | 6,00 | 5,97 | 6,00 |
| Desvio padrão | 3,46 | 3,50 | 3,46 |
| P10 | 2,20 | 2,19 | 2,20 |
| P50 (mediana) | 5,35 | 5,28 | 5,35 |
| P90 | 10,64 | 10,69 | 10,64 |
O Excel sorteia com RAND(), totalmente ao acaso; o xellstorm distribui os sorteios de modo uniforme pela faixa (amostragem por Hipercubo Latino), por isso as estatísticas dele ficam mais perto dos valores exatos.
Gama ou lognormal?
Ambas são positivas e assimétricas à direita e, com a mesma média e o mesmo desvio padrão, ficam parecidas no meio. A diferença está na cauda: a da lognormal é mais pesada. Com a mesma média de 6,0 e o mesmo desvio padrão de 3,46 dos reparos, uma lognormal dá 0,6% de chance de passar de 20 dias, e a gama, 0,3%. Quando valores raros e muito grandes importam (perdas, estouros), essa diferença também importa: ajuste as duas aos seus dados e compare, ou escolha a cauda mais pesada por prudência. Veja a distribuição lognormal.
Como usar a distribuição gama no xellstorm
- Transforme a célula em entrada e, na etapa Distribuições, escolha Gama. Informe a (a forma) e scale; loc desloca o início para longe de zero, em geral 0.
- Com valores passados, “A partir de dados” no painel lateral ajusta uma gama começando em zero, junto com lognormal, Weibull e outras formas, e ordena os ajustes.
“Importar da planilha” converte =GAMMA.INV(RAND(), alpha, beta) em uma entrada gama; modelos de suplementos são convertidos a partir de RiskGamma, RiskErlang, VoseGamma e PsiGamma.
Perguntas
Como gerar números aleatórios com distribuição gama no Excel?
Use =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale), por exemplo =GAMMA.INV(RAND(), 3, 2) para uma média de 6,0. Cada recálculo sorteia um valor novo.
O que são a forma e a escala de uma distribuição gama?
A forma define o formato: 1 é uma distribuição exponencial e, quanto maior, mais simétrico fica o pico. A escala estica a curva: a média é forma × escala e o desvio padrão, √forma × escala.
Qual é a relação entre a distribuição gama e a exponencial?
A exponencial é uma gama com forma 1. A soma de vários tempos exponenciais independentes com a mesma média é uma gama que tem como forma o número de tempos e como escala essa média (também chamada de distribuição de Erlang).
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