Distribución gamma en Excel: tiempos de espera, totales y GAMMA.INV
En pocas palabras: el tiempo total de varias esperas seguidas, como tres reparaciones una tras otra. En general, una cantidad positiva con una cola a la derecha.
La distribución gamma describe una cantidad positiva con una cola a la derecha y, en particular, el tiempo total de varios pasos aleatorios seguidos. La definen un parámetro de forma y uno de escala; su media es forma × escala. En Excel, =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale) genera valores de ella. Tres reparaciones seguidas, cada una de 2 días en promedio con dispersión exponencial, suman un total con distribución gamma de forma 3 y escala 2: 6,0 días en promedio y más de 10 días en el 12,5 % de los casos.
Qué es una distribución gamma
Parta de la distribución exponencial, el tiempo de espera de un evento aleatorio. Si se esperan varios de esos eventos seguidos, el total sigue una distribución gamma: el parámetro de forma es el número de pasos y el de escala, la media de cada uno. La forma no tiene por qué ser un número entero, lo que hace de la gamma una familia flexible para cualquier cantidad positiva y asimétrica a la derecha: lluvias, reclamaciones de seguros, duraciones, demanda.
Cómo leer el gráfico: cada línea es el tiempo total de 1, 3 u 8 esperas seguidas. Con una sola espera, los tiempos cortos son los más comunes; cuantas más esperas se suman, más se concentra el total en torno a su promedio.
Fórmulas: media, desviación estándar, pico, y a partir de una media y una desviación estándar
| Magnitud | Fórmula y ejemplo |
|---|---|
| Media | k × θ = 6,0 días |
| Desviación estándar | √k × θ = 3,46 días |
| Pico (moda) | (k − 1) × θ, para k ≥ 1 = 4,0 días |
| A partir de una media y una desviación estándar | k = (media / sd)², θ = sd² / media |
La distribución gamma en Excel
GAMMA.INV(probability, alpha, beta) (INV.GAMMA en Excel en español) recibe la forma como alfa y la escala como beta. Algunos libros de texto escriben la gamma con una tasa, 1 / escala; Excel usa la escala, así que una tasa de 0,5 por día equivale a una beta de 2. En una sola celda, un valor aleatorio es =GAMMA.INV(RAND(),D17,F17), y GAMMA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) (DISTR.GAMMA.N) da la probabilidad de un valor por debajo de x: =1-GAMMA.DIST(10, 3, 2, TRUE) es la probabilidad de 12,5 % de tardar más de 10 días.
| Celda | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| Número aleatorio u (I17) | =RAND() | |
| Valor aleatorio (J17) | =GAMMA.INV(I17, | |
| Valor aleatorio en una sola celda | =GAMMA.INV(RAND(), | |
| Media (K17) | =D17*F17 | 6,00 |
| P10 (L17) | =GAMMA.INV(0.1, | 2,20 |
| P90 (M17) | =GAMMA.INV(0.9, | 10,64 |
Verifique los números: valores exactos frente a 10.000 valores simulados de Excel y de xellstorm
| Exacto | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Media | 6,00 | 5,97 | 6,00 |
| Desviación estándar | 3,46 | 3,50 | 3,46 |
| P10 | 2,20 | 2,19 | 2,20 |
| P50 (mediana) | 5,35 | 5,28 | 5,35 |
| P90 | 10,64 | 10,69 | 10,64 |
Excel genera sus valores con RAND(), totalmente al azar; xellstorm reparte los suyos de manera uniforme a lo largo del rango (muestreo de hipercubo latino), por lo que sus estadísticas quedan más cerca de los valores exactos.
¿Gamma o lognormal?
Ambas son positivas y asimétricas a la derecha, y con la misma media y desviación estándar se parecen en el centro. La diferencia está en la cola: la de la lognormal es más pesada. Con la media de las reparaciones, 6,0, y su desviación estándar, 3,46, una lognormal da una probabilidad de 0,6 % de superar los 20 días, y la gamma, de 0,3 %. Cuando importan los valores muy grandes y poco frecuentes (pérdidas, sobrecostos), esa diferencia también importa: ajuste ambas a sus datos y compare, o elija la cola más pesada por prudencia. Véase la distribución lognormal.
Cómo definir una distribución gamma en xellstorm
- Convierta la celda en entrada y, en el paso Distribuciones, elija Gamma. Escriba a (la forma) y scale; loc desplaza el inicio lejos de cero y normalmente vale 0.
- Con valores históricos, “Desde datos”, en el panel lateral, ajusta una gamma que parte de cero, junto con la lognormal, la Weibull y otras formas, y las ordena.
“Importar desde el archivo” convierte =GAMMA.INV(RAND(), alpha, beta) en una entrada gamma, y los modelos creados con complementos se convierten a partir de RiskGamma, RiskErlang, VoseGamma y PsiGamma.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se generan números aleatorios con distribución gamma en Excel?
Use =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale), por ejemplo =GAMMA.INV(RAND(), 3, 2) para una media de 6,0. Cada recálculo da un valor nuevo.
¿Qué son los parámetros de forma y de escala de una distribución gamma?
El parámetro de forma fija el perfil: 1 es una distribución exponencial y, con valores mayores, aparece un pico que se vuelve cada vez más simétrico. El de escala la estira: la media es forma × escala y la desviación estándar, √forma × escala.
¿Qué relación hay entre la distribución gamma y la exponencial?
Una distribución exponencial es una gamma con forma 1. La suma de varios tiempos exponenciales independientes con la misma media es una gamma cuya forma es el número de tiempos y cuya escala es esa media (también llamada distribución de Erlang).
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