엑셀 감마 분포: 대기 시간, 합계, GAMMA.INV
한마디로: 수리 세 건을 차례로 하는 것처럼, 기다림 여러 번이 이어졌을 때의 전체 시간입니다. 더 넓게는 오른쪽으로 꼬리가 있는 양수를 나타냅니다.
감마 분포는 오른쪽 꼬리가 있는 양수를 나타내며, 특히 무작위 단계 여러 개가 연달아 일어나는 전체 시간에 맞습니다. 형상 모수와 척도 모수로 정해지고 평균은 형상 모수 × 척도 모수입니다. 엑셀에서는 =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale)로 값을 뽑습니다. 수리 세 건을 연달아 하는데 한 건에 평균 2일이 걸리고 소요 시간이 지수 분포를 따른다면, 전체 소요 시간은 형상 모수 3, 척도 모수 2인 감마 분포를 따릅니다. 평균은 6.0일이고, 10일을 넘길 확률은 12.5%입니다.
감마 분포는 무엇인가
무작위 사건 하나를 기다리는 시간인 지수 분포에서 출발합니다. 이런 사건을 여러 개 연달아 기다리면 그 합계가 감마 분포를 따릅니다. 형상 모수는 단계의 수이고 척도 모수는 각 단계의 평균입니다. 형상 모수는 정수가 아니어도 되므로, 감마 분포는 양수이고 오른쪽으로 치우친 값(강우량, 보험금 청구, 기간, 수요)에 두루 쓸 수 있는 유연한 분포입니다.
차트 읽는 법: 선 하나가 기다림이 1번, 3번, 8번 연달아 이어진 전체 시간입니다. 기다림이 한 번이면 짧은 시간이 가장 흔하고, 기다림이 많이 쌓일수록 전체 시간이 평균 둘레에 모입니다.
수식: 평균, 표준편차, 봉우리, 평균과 표준편차에서 구하는 법
| 구하는 값 | 수식과 예시 |
|---|---|
| 평균 | k × θ = 6.0일 |
| 표준편차 | √k × θ = 3.46일 |
| 봉우리(최빈값) | (k − 1) × θ, k ≥ 1일 때 = 4.0일 |
| 평균과 표준편차에서 구하기 | k = (평균 / 표준편차)², θ = 표준편차² / 평균 |
엑셀의 감마 분포
GAMMA.INV(probability, alpha, beta)는 형상 모수를 alpha로, 척도 모수를 beta로 받습니다. 교과서에 따라서는 척도 대신 비율 모수(1 / 척도)로 감마 분포를 쓰기도 합니다. 엑셀은 척도를 쓰므로 하루 0.5라는 비율은 beta 2에 해당합니다. 셀 하나에 쓴 추출값은 =GAMMA.INV(RAND(),D17,F17)이고, GAMMA.DIST(x, alpha, beta, TRUE)는 값이 x 미만일 확률을 돌려줍니다. 10일을 넘길 확률은 =1-GAMMA.DIST(10, 3, 2, TRUE)이고 값은 12.5%입니다.
| 셀 | 수식 | 값 |
|---|---|---|
| 난수 u(I17) | =RAND() | |
| 추출값(J17) | =GAMMA.INV(I17, | |
| 셀 하나로 추출 | =GAMMA.INV(RAND(), | |
| 평균(K17) | =D17*F17 | 6.00 |
| P10 (L17) | =GAMMA.INV(0.1, | 2.20 |
| P90 (M17) | =GAMMA.INV(0.9, | 10.64 |
수치 확인: 이론값과 엑셀, xellstorm의 10,000개 추출값 비교
| 이론값 | 엑셀, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 평균 | 6.00 | 5.97 | 6.00 |
| 표준편차 | 3.46 | 3.50 | 3.46 |
| P10 | 2.20 | 2.19 | 2.20 |
| P50(중앙값) | 5.35 | 5.28 | 5.35 |
| P90 | 10.64 | 10.69 | 10.64 |
엑셀은 RAND()로 완전히 무작위하게 뽑고, xellstorm은 추출값을 범위 전체에 고르게 퍼뜨립니다(라틴 하이퍼큐브 샘플링). 그래서 통계값이 이론값에 더 가깝게 나옵니다.
감마 분포와 로그정규 분포 중 무엇을 쓸까요?
둘 다 양수이고 오른쪽으로 치우쳐 있으며, 평균과 표준편차가 같으면 가운데는 비슷해 보입니다. 차이는 꼬리에 있습니다. 로그정규 분포의 꼬리가 더 두껍습니다. 수리 시간의 평균 6.0, 표준편차 3.46에 맞추면 20일을 넘길 확률은 로그정규 분포에서 0.6%, 감마 분포에서 0.3%입니다. 드물지만 아주 큰 값(손실, 초과 비용)이 중요할 때는 이 차이도 중요합니다. 두 분포를 모두 데이터에 적합해 비교하거나, 신중을 기해 꼬리가 두꺼운 쪽을 고르세요. 로그정규 분포를 참고하세요.
xellstorm에서 감마 분포 입력하는 법
- 셀을 입력으로 만들고 분포 단계에서 감마 분포를 고릅니다. a(형상 모수)와 scale을 입력합니다. loc은 시작점을 0에서 옮기며, 보통 0입니다.
- 과거 값이 있으면 사이드 패널의 “데이터로” 탭에서 0에서 시작하는 감마 분포를 로그정규, 와이블 같은 다른 모양과 함께 적합하고 순위를 매깁니다.
“엑셀 파일에서 가져오기”는 =GAMMA.INV(RAND(), alpha, beta)를 감마 분포 입력으로 변환합니다. 애드인 모델은 RiskGamma, RiskErlang, VoseGamma, PsiGamma에서 변환합니다.
자주 묻는 질문
엑셀에서 감마 분포를 따르는 난수는 어떻게 만드나요?
=GAMMA.INV(RAND(), shape, scale)를 씁니다. 평균이 6.0이면 =GAMMA.INV(RAND(), 3, 2)입니다. 다시 계산할 때마다 새 값을 뽑습니다.
감마 분포의 형상 모수와 척도 모수는 무엇인가요?
형상 모수는 모양을 정합니다. 1이면 지수 분포이고, 클수록 봉우리가 점점 대칭에 가까워집니다. 척도 모수는 분포를 늘립니다. 평균은 형상 모수 × 척도 모수, 표준편차는 √형상 모수 × 척도 모수입니다.
감마 분포와 지수 분포는 어떤 관계인가요?
지수 분포는 형상 모수가 1인 감마 분포입니다. 평균이 같은 독립적인 지수 분포 시간 여러 개의 합은, 시간의 개수가 형상 모수이고 그 평균이 척도 모수인 감마 분포입니다(얼랑 분포라고도 합니다).
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