Loi gamma dans Excel : temps d’attente, totaux et GAMMA.INV
En bref : la durée totale de plusieurs attentes à la suite, comme trois réparations l’une après l’autre. Plus généralement, une grandeur positive avec une queue à droite.
La loi gamma décrit une grandeur positive à queue étalée vers la droite, et en particulier la durée totale de plusieurs étapes aléatoires à la suite. Un paramètre de forme et un paramètre d’échelle la définissent ; sa moyenne est forme × échelle. Dans Excel, =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale) en tire une valeur. Trois réparations à la suite, chacune durant 2 jours en moyenne avec une dispersion exponentielle, ont une durée totale de loi gamma de forme 3 et d’échelle 2 : 6,0 jours en moyenne, et plus de 10 jours dans 12,5 % des cas.
Ce qu’est une loi gamma
Partez de la loi exponentielle, le temps d’attente d’un événement aléatoire. Attendez plusieurs événements de ce genre à la suite : le total suit une loi gamma, dont le paramètre de forme est le nombre d’étapes et celui d’échelle la moyenne de chacune. La forme n’a pas besoin d’être un nombre entier, ce qui fait de la loi gamma une famille souple pour toute grandeur positive et asymétrique à droite : pluviométrie, sinistres d’assurance, durées, demande.
Comment lire le graphique : chaque ligne est la durée totale de 1, 3 ou 8 attentes à la suite. Avec une seule attente, les durées courtes sont les plus fréquentes ; plus les attentes s’additionnent, plus le total se regroupe autour de sa moyenne.
Formules : moyenne, écart type, pic, et calcul à partir d’une moyenne et d’un écart type
| Grandeur | Formule et exemple |
|---|---|
| Moyenne | k × θ = 6,0 jours |
| Écart type | √k × θ = 3,46 jours |
| Pic (mode) | (k − 1) × θ, pour k ≥ 1 = 4,0 jours |
| À partir d’une moyenne et d’un écart type | k = (moyenne / écart type)², θ = écart type² / moyenne |
La loi gamma dans Excel
GAMMA.INV(probability, alpha, beta) (LOI.GAMMA.INVERSE.N dans Excel en français) prend la forme comme alpha et l’échelle comme bêta. Certains manuels écrivent la loi gamma avec un taux, 1 / échelle ; Excel utilise l’échelle : un taux de 0,5 par jour correspond donc à un bêta de 2. En une seule cellule, un tirage s’écrit =GAMMA.INV(RAND(),D17,F17), et GAMMA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) (LOI.GAMMA.N dans Excel en français) donne la probabilité d’une valeur inférieure à x : =1-GAMMA.DIST(10, 3, 2, TRUE) est la probabilité de 12,5 % de dépasser 10 jours.
| Cellule | Formule | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre aléatoire u (I17) | =RAND() | |
| Tirage (J17) | =GAMMA.INV(I17, | |
| Tirage en une seule cellule | =GAMMA.INV(RAND(), | |
| Moyenne (K17) | =D17*F17 | 6,00 |
| P10 (L17) | =GAMMA.INV(0.1, | 2,20 |
| P90 (M17) | =GAMMA.INV(0.9, | 10,64 |
Vérifier les chiffres : valeurs exactes comparées à 10 000 tirages d’Excel et de xellstorm
| Valeur exacte | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 6,00 | 5,97 | 6,00 |
| Écart type | 3,46 | 3,50 | 3,46 |
| P10 | 2,20 | 2,19 | 2,20 |
| P50 (médiane) | 5,35 | 5,28 | 5,35 |
| P90 | 10,64 | 10,69 | 10,64 |
Excel tire avec RAND(), de façon entièrement aléatoire ; xellstorm répartit ses tirages régulièrement sur toute la fourchette (échantillonnage par hypercube latin), si bien que ses statistiques tombent plus près des valeurs exactes.
Gamma ou log-normale ?
Toutes deux sont positives et asymétriques à droite, et avec les mêmes moyenne et écart type elles se ressemblent au centre. La différence est dans la queue : celle de la log-normale est plus épaisse. Calée sur la moyenne des réparations, 6,0, et leur écart type, 3,46, une loi log-normale donne 0,6 % de probabilité de dépasser 20 jours, la gamma 0,3 %. Quand des valeurs très grandes, mais rares, comptent (pertes, dépassements), cette différence compte aussi : ajustez les deux à vos données et comparez, ou choisissez la queue la plus épaisse par prudence. Voir la loi log-normale.
Saisir une loi gamma dans xellstorm
- Faites de la cellule une entrée puis, à l’étape Distributions, choisissez Gamma. Saisissez a (la forme) et scale ; loc décale l’origine par rapport à zéro, en général 0.
- Avec des valeurs passées, « À partir de données » dans le panneau latéral ajuste une loi gamma partant de zéro, à côté des lois log-normale, de Weibull et d’autres formes, et les classe.
« Importer depuis le fichier » convertit =GAMMA.INV(RAND(), alpha, beta) en entrée gamma ; les modèles de compléments se convertissent depuis RiskGamma, RiskErlang, VoseGamma et PsiGamma.
Questions fréquentes
Comment générer des nombres aléatoires suivant une loi gamma dans Excel ?
Utilisez =GAMMA.INV(RAND(), shape, scale), par exemple =GAMMA.INV(RAND(), 3, 2) pour une moyenne de 6,0. Chaque recalcul tire une nouvelle valeur.
Que sont la forme et l’échelle d’une loi gamma ?
La forme fixe l’allure : 1 donne une loi exponentielle, et des valeurs plus grandes donnent une bosse de plus en plus symétrique. L’échelle l’étire : la moyenne est forme × échelle et l’écart type √forme × échelle.
Quel est le lien entre la loi gamma et la loi exponentielle ?
Une loi exponentielle est une loi gamma de forme 1. La somme de plusieurs durées exponentielles indépendantes de même moyenne suit une loi gamma dont la forme est le nombre de durées et l’échelle cette moyenne (on parle aussi de loi d’Erlang).
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