Distribución de Weibull en Excel: forma, escala y tiempo hasta la falla
En pocas palabras: cuánto dura una pieza antes de fallar. Un número fija la vida típica; el otro indica si las fallas llegan pronto, al azar o cuando las piezas se desgastan.
La distribución de Weibull describe cuánto dura algo antes de fallar. Su parámetro de escala fija la vida típica y su parámetro de forma, cómo se reparten las fallas en el tiempo: por debajo de 1 llegan pronto, con 1 llegan a una tasa constante (la distribución exponencial) y por encima de 1 las piezas se desgastan. Excel tiene WEIBULL.DIST pero no su inversa, así que un valor aleatorio se obtiene con =scale * (-LN(1 - RAND()))^(1 / shape). Una bomba con forma 1,5 y escala de 20.000 horas dura en promedio 18.055 horas, y el 25,2 % de las bombas falla en el plazo de un año de funcionamiento continuo.
Forma y escala
La escala (η, eta) es la vida característica: sea cual sea la forma, el 63,2 % de las unidades ya ha fallado al llegar a ella. La forma (β, beta) indica cómo cambia con la edad la tasa de fallas, es decir, la probabilidad de que falle en la hora siguiente una unidad que sigue funcionando:
- Menor que 1: la tasa de fallas disminuye con la edad. Las unidades débiles fallan pronto (mortalidad infantil) y las que sobreviven duran.
- Exactamente 1: la tasa de fallas es constante. La edad no influye; es la distribución exponencial.
- Mayor que 1: la tasa de fallas aumenta con la edad, a medida que las piezas se desgastan. Con forma 1,5, una bomba con 20.000 horas de uso tiene 2,0 veces más probabilidad de fallar en la hora siguiente que una con 5000 horas. Con una forma de 3 a 4, aproximadamente, la vida es casi simétrica en torno a la escala.
Cómo leer el gráfico: cada línea es un valor de forma con la misma escala. Donde una línea es alta, muchas unidades fallan a esa edad: con forma 0,8 la mayoría de las fallas llega al principio; con forma 3, se concentran en torno a la vida típica.
La distribución de Weibull en Excel
WEIBULL.DIST(x, shape, scale, TRUE) (DIST.WEIBULL en Excel en español) da la proporción de unidades que han fallado a la edad x, así que =WEIBULL.DIST(8760, 1.5, 20000, TRUE) devuelve 25,2 %, la probabilidad de que una bomba falle en un año (8760 horas). Excel llama alfa a la forma y beta a la escala, mientras que los ingenieros suelen escribir β para la forma y η para la escala, así que conviene revisar el orden. Para una vida aleatoria, se convierte un número aleatorio u entre 0 y 1 en una edad: la vida es escala × (−ln(1 − u))1/forma, en una sola celda =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10).
Cómo leer el gráfico: cada barra cuenta cuántos de los 10.000 valores simulados cayeron en ese tramo, y la línea es la curva teórica. Cuanto más alta es la barra, con más frecuencia caen valores ahí. Las líneas punteadas marcan la vida B10 y la media.
| Celda | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| Número aleatorio u (I10) | =RAND() | |
| Valor aleatorio (J10) | =F10*(-LN(1-I10))^(1/D10) | |
| Valor aleatorio en una sola celda | =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10) | |
| Media (K10) | =F10*EXP(GAMMALN(1+1/D10)) | 18.055 |
| P10 (L10) | =F10*(-LN(1-0.1))^(1/D10) | 4462 |
| P90 (M10) | =F10*(-LN(1-0.9))^(1/D10) | 34.874 |
Verifique los números: valores exactos frente a 10.000 valores simulados de Excel y de xellstorm
| Exacto | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Media | 18.055 | 18.229 | 18.055 |
| Desviación estándar | 12.259 | 12.465 | 12.262 |
| P10 | 4462 | 4443 | 4462 |
| P50 (mediana) | 15.664 | 15.628 | 15.665 |
| P90 | 34.874 | 35.730 | 34.870 |
Excel genera sus valores con RAND(), totalmente al azar; xellstorm reparte los suyos de manera uniforme a lo largo del rango (muestreo de hipercubo latino), por lo que sus estadísticas quedan más cerca de los valores exactos.
La vida B10, la edad a la que ha fallado el 10 % de las unidades, es el P10: 4462 horas para esta bomba. La vida mediana es de 15.664 horas y la media, de 18.055; la media queda por encima de la mediana porque unas pocas bombas duran mucho más que la mayoría.
La distribución exponencial: una Weibull con forma 1
Cuando las fallas o las llegadas ocurren al azar, a una tasa promedio constante, el tiempo entre ellas es exponencial: una avería cada 500 horas en promedio equivale a una tasa de 0,002 por hora. Tiene un solo parámetro, la media (o su inversa, la tasa), y no tiene memoria, así que el tiempo que ya se esperó no dice nada sobre el que falta: una máquina que ha funcionado 1000 horas sin averías tiene la misma probabilidad, 71,5 %, de pasar la semana siguiente (168 horas) que una nueva. La mayoría de los intervalos son cortos: el 63,2 % es más corto que la media, y la mediana es de solo 347 horas.
| Celda | Fórmula | Valor |
|---|---|---|
| Número aleatorio u (I11) | =RAND() | |
| Valor aleatorio (J11) | =-D11*LN(1-I11) | |
| Valor aleatorio en una sola celda | =-D11*LN(1-RAND()) | |
| Media (K11) | =D11 | 500 |
| P10 (L11) | =-D11*LN(1-0.1) | 53 |
| P90 (M11) | =-D11*LN(1-0.9) | 1151 |
Verifique los números: valores exactos frente a 10.000 valores simulados de Excel y de xellstorm
| Exacto | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Media | 500 | 497 | 500 |
| Desviación estándar | 500 | 499 | 500 |
| P10 | 53 | 54 | 53 |
| P50 (mediana) | 347 | 347 | 347 |
| P90 | 1151 | 1132 | 1151 |
Excel genera sus valores con RAND(), totalmente al azar; xellstorm reparte los suyos de manera uniforme a lo largo del rango (muestreo de hipercubo latino), por lo que sus estadísticas quedan más cerca de los valores exactos.
En Excel, EXPON.DIST(x, rate, TRUE) (DISTR.EXP.N en Excel en español) recibe la tasa, 1 / media, no la media. Un valor aleatorio es =-D11*LN(1-RAND()). El tiempo total de varios eventos así, uno tras otro, sigue una distribución gamma, y el número de eventos en un período fijo, una distribución de Poisson.
Cuándo usar Weibull o exponencial
- Weibull para la vida de componentes y equipos, la fatiga y cualquier tiempo hasta la falla en que la edad importa. Si hay datos de fallas, ajústela. El ejemplo de confiabilidad de un sistema en serie combina cuatro componentes Weibull, entre ellos esta bomba.
- Exponencial para tiempos entre eventos aleatorios: averías de un sistema con muchas partes, llegadas de clientes, llamadas. No la use para el desgaste, donde subestima las fallas de las unidades viejas.
- Lognormal para tiempos de reparación y otras duraciones que rara vez son cortas; con frecuencia se ajusta junto con la Weibull a los mismos datos.
Cómo definir distribuciones de Weibull y exponencial en xellstorm
- Convierta la celda en entrada y, en el paso Distribuciones, elija Weibull y escriba forma y scale (loc es un período sin fallas, normalmente 0). Para una exponencial, elija Exponencial y escriba la media como scale.
- Con tiempos de falla, seleccione la entrada y use “Desde datos” en el panel lateral: ajusta la Weibull, la exponencial, la gamma y la lognormal (todas desde cero), entre otras formas, y las ordena, de modo que se vea cuál respaldan los datos.
- Convierta las vidas en la respuesta que necesita con fórmulas del archivo: un sistema que se detiene en su primera falla es el
MINde las vidas de sus componentes, yIF(life<8760,1,0)cuenta las fallas dentro de un año.
Los modelos creados con complementos se convierten a partir de RiskWeibull, VoseWeibull y PsiWeibull, y de RiskExpon, VoseExpon y PsiExponential.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se generan números aleatorios de Weibull en Excel?
Excel no tiene WEIBULL.INV, así que hay que invertir la distribución a mano: =scale*(-LN(1-RAND()))^(1/shape). Para forma 1,5 y escala 20.000, queda =20000*(-LN(1-RAND()))^(1/1.5). Los valores generados tienen exactamente la distribución de Weibull, como muestra la tabla de arriba.
¿Qué significan los parámetros de forma y de escala de una distribución de Weibull?
La escala es la vida característica, la edad a la que ha fallado el 63,2 % de las unidades. La forma describe la tasa de fallas en el tiempo: por debajo de 1 disminuye (fallas tempranas), con 1 es constante (fallas aleatorias) y por encima de 1 aumenta (desgaste).
¿Qué es la vida B10?
La vida B10 es la edad a la que ha fallado el 10 % de las unidades: el P10 de la distribución de la vida, escala × (−ln 0,9)1/forma. Para una bomba con forma 1,5 y escala de 20.000 horas es de 4462 horas.
¿Qué relación hay entre la distribución exponencial y la de Weibull?
Una distribución exponencial es una distribución de Weibull con forma 1, cuya escala es la media. Describe vidas que no dependen de la edad: la probabilidad de fallar en la hora siguiente es la misma para una unidad nueva que para una vieja.
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