Loi de Weibull dans Excel : forme, échelle et temps avant défaillance
En bref : combien de temps une pièce dure avant de tomber en panne. Un nombre fixe la durée de vie typique ; l’autre dit si les pannes surviennent tôt, au hasard, ou à mesure que les pièces s’usent.
La loi de Weibull décrit combien de temps dure un équipement avant de tomber en panne. Son paramètre d’échelle fixe la durée de vie typique et son paramètre de forme la façon dont les défaillances se répartissent dans le temps : sous 1, elles surviennent tôt ; à 1, à un rythme constant (loi exponentielle) ; au-dessus de 1, les pièces s’usent. Excel dispose de WEIBULL.DIST (LOI.WEIBULL.N dans Excel en français) mais d’aucune fonction inverse : un tirage s’écrit donc =scale * (-LN(1 - RAND()))^(1 / shape). Une pompe de forme 1,5 et d’échelle 20 000 heures dure en moyenne 18 055 heures, et 25,2 % des pompes tombent en panne en moins d’un an de fonctionnement continu.
Forme et échelle
L’échelle (η, êta) est la durée de vie caractéristique : quelle que soit la forme, 63,2 % des unités sont défaillantes quand elles atteignent cet âge. La forme (β, bêta) dit comment évolue avec l’âge le taux de défaillance, c’est-à-dire la probabilité qu’une unité encore en service tombe en panne dans l’heure qui suit :
- Sous 1 : le taux de défaillance diminue avec l’âge. Les unités fragiles tombent en panne tôt (mortalité infantile), et les survivantes durent.
- Exactement 1 : le taux de défaillance est constant. L’âge ne compte pas ; c’est la loi exponentielle.
- Au-dessus de 1 : le taux de défaillance croît avec l’âge, à mesure que les pièces s’usent. Avec une forme de 1,5, une pompe à 20 000 heures a 2,0 fois plus de risques de tomber en panne dans l’heure qui suit qu’une pompe à 5 000 heures. Vers 3 à 4, la durée de vie est presque symétrique autour de l’échelle.
Comment lire le graphique : chaque ligne correspond à une valeur de la forme, avec la même échelle. Là où une ligne est haute, beaucoup d’unités tombent en panne à cet âge : avec une forme de 0,8, la plupart des pannes surviennent dès le début ; avec 3, elles se regroupent autour de la durée de vie typique.
La loi de Weibull dans Excel
WEIBULL.DIST(x, shape, scale, TRUE) donne la part des unités défaillantes à l’âge x ; ainsi =WEIBULL.DIST(8760, 1.5, 20000, TRUE) renvoie 25,2 %, la probabilité qu’une pompe tombe en panne dans l’année (8 760 heures). Excel appelle la forme alpha et l’échelle bêta, alors que les ingénieurs notent souvent β la forme et η l’échelle : vérifiez l’ordre. Pour une durée de vie aléatoire, transformez un nombre aléatoire u compris entre 0 et 1 en un âge : la durée de vie vaut échelle × (−ln(1 − u))1/forme, soit, en une seule cellule, =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10).
Comment lire le graphique : chaque barre compte combien des 10 000 valeurs simulées sont tombées dans cet intervalle, et la ligne est la courbe théorique. Plus la barre est haute, plus les valeurs tombent souvent à cet endroit. Les pointillés marquent la durée de vie B10 et la moyenne.
| Cellule | Formule | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre aléatoire u (I10) | =RAND() | |
| Tirage (J10) | =F10*(-LN(1-I10))^(1/D10) | |
| Tirage en une seule cellule | =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10) | |
| Moyenne (K10) | =F10*EXP(GAMMALN(1+1/D10)) | 18 055 |
| P10 (L10) | =F10*(-LN(1-0.1))^(1/D10) | 4 462 |
| P90 (M10) | =F10*(-LN(1-0.9))^(1/D10) | 34 874 |
Vérifier les chiffres : valeurs exactes comparées à 10 000 tirages d’Excel et de xellstorm
| Valeur exacte | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 18 055 | 18 229 | 18 055 |
| Écart type | 12 259 | 12 465 | 12 262 |
| P10 | 4 462 | 4 443 | 4 462 |
| P50 (médiane) | 15 664 | 15 628 | 15 665 |
| P90 | 34 874 | 35 730 | 34 870 |
Excel tire avec RAND(), de façon entièrement aléatoire ; xellstorm répartit ses tirages régulièrement sur toute la fourchette (échantillonnage par hypercube latin), si bien que ses statistiques tombent plus près des valeurs exactes.
La durée de vie B10, l’âge auquel 10 % des unités sont défaillantes, est le P10 : 4 462 heures pour cette pompe. La durée de vie médiane est de 15 664 heures et la moyenne de 18 055 ; la moyenne dépasse la médiane parce que quelques pompes durent bien plus longtemps que la plupart.
La loi exponentielle : une loi de Weibull de forme 1
Quand les pannes ou les arrivées surviennent au hasard, à un rythme moyen constant, le temps qui les sépare suit une loi exponentielle : une panne toutes les 500 heures en moyenne correspond à un taux de 0,002 par heure. Elle n’a qu’un paramètre, la moyenne (ou son inverse, le taux), et elle n’a pas de mémoire : le temps déjà attendu ne dit rien du temps qu’il reste à attendre. Une machine qui a fonctionné 1 000 heures sans panne a la même probabilité, 71,5 %, de passer la semaine suivante (168 heures) qu’une machine neuve. La plupart des intervalles sont courts : 63,2 % sont plus courts que la moyenne, et la médiane n’est que de 347 heures.
| Cellule | Formule | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre aléatoire u (I11) | =RAND() | |
| Tirage (J11) | =-D11*LN(1-I11) | |
| Tirage en une seule cellule | =-D11*LN(1-RAND()) | |
| Moyenne (K11) | =D11 | 500 |
| P10 (L11) | =-D11*LN(1-0.1) | 53 |
| P90 (M11) | =-D11*LN(1-0.9) | 1 151 |
Vérifier les chiffres : valeurs exactes comparées à 10 000 tirages d’Excel et de xellstorm
| Valeur exacte | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 500 | 497 | 500 |
| Écart type | 500 | 499 | 500 |
| P10 | 53 | 54 | 53 |
| P50 (médiane) | 347 | 347 | 347 |
| P90 | 1 151 | 1 132 | 1 151 |
Excel tire avec RAND(), de façon entièrement aléatoire ; xellstorm répartit ses tirages régulièrement sur toute la fourchette (échantillonnage par hypercube latin), si bien que ses statistiques tombent plus près des valeurs exactes.
Dans Excel, EXPON.DIST(x, rate, TRUE) (LOI.EXPONENTIELLE.N dans Excel en français) prend le taux, 1 / moyenne, et non la moyenne. Un tirage s’écrit =-D11*LN(1-RAND()). Le temps total de plusieurs événements de ce genre à la suite suit une loi gamma, et le nombre d’événements sur une période fixe une loi de Poisson.
Quand utiliser la loi de Weibull ou la loi exponentielle
- Weibull pour les durées de vie de composants et d’équipements, la fatigue, et tout temps avant défaillance où l’âge compte. Avec des données de défaillance, ajustez-la. L’exemple de la fiabilité d’un système série combine quatre composants de Weibull, dont cette pompe.
- Exponentielle pour les temps entre événements aléatoires : pannes d’un système de nombreuses pièces, arrivées de clients, appels. Ne l’utilisez pas pour l’usure, où elle sous-estime les défaillances des unités âgées.
- Log-normale pour les temps de réparation et les autres durées rarement courtes ; on l’ajuste souvent avec la Weibull sur les mêmes données.
Saisir des lois de Weibull et exponentielle dans xellstorm
- Faites de la cellule une entrée puis, à l’étape Distributions, choisissez Weibull et saisissez forme et scale ; loc est une période sans défaillance, en général 0. Pour une exponentielle, choisissez Exponentielle et saisissez la moyenne comme scale.
- Avec des durées jusqu’à la défaillance, sélectionnez l’entrée et utilisez « À partir de données » dans le panneau latéral : il ajuste les lois de Weibull, exponentielle, gamma et log-normale (toutes partant de zéro), entre autres, et les classe, pour que vous voyiez laquelle les données soutiennent.
- Transformez les durées de vie en la réponse dont vous avez besoin avec des formules Excel : un système qui s’arrête à sa première défaillance est le
MINdes durées de vie de ses composants, etIF(life<8760,1,0)compte les défaillances dans l’année.
Les modèles de compléments se convertissent depuis RiskWeibull, VoseWeibull et PsiWeibull, ainsi que depuis RiskExpon, VoseExpon et PsiExponential.
Questions fréquentes
Comment générer des nombres aléatoires de Weibull dans Excel ?
Excel n’a pas de WEIBULL.INV : il faut inverser la loi soi-même, =scale*(-LN(1-RAND()))^(1/shape). Pour une forme de 1,5 et une échelle de 20 000, cela donne =20000*(-LN(1-RAND()))^(1/1.5). Les tirages suivent exactement la loi de Weibull, comme le montre le tableau ci-dessus.
Que signifient la forme et l’échelle d’une loi de Weibull ?
L’échelle est la durée de vie caractéristique, l’âge auquel 63,2 % des unités sont défaillantes. La forme décrit le taux de défaillance au fil du temps : sous 1, il diminue (défaillances précoces) ; à 1, il est constant (défaillances aléatoires) ; au-dessus de 1, il augmente (usure).
Qu’est-ce que la durée de vie B10 ?
La durée de vie B10 est l’âge auquel 10 % des unités sont défaillantes : le P10 de la loi de durée de vie, échelle × (−ln 0,9)1/forme. Pour une pompe de forme 1,5 et d’échelle 20 000 heures, elle vaut 4 462 heures.
Quel lien entre la loi exponentielle et la loi de Weibull ?
Une loi exponentielle est une loi de Weibull de forme 1, avec la moyenne pour échelle. Elle décrit des durées de vie qui ne dépendent pas de l’âge : la probabilité de tomber en panne dans l’heure qui suit est la même pour une unité neuve et pour une unité ancienne.
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