엑셀 와이블 분포: 형상 모수, 척도 모수, 고장까지의 시간
한마디로: 부품이 고장 나기까지 얼마나 오래 가는지입니다. 숫자 하나는 대표 수명을 정하고, 다른 하나는 고장이 일찍 나는지, 무작위로 나는지, 마모되어 나는지를 정합니다.
와이블 분포는 어떤 것이 고장 나기 전까지 얼마나 오래 가는지를 나타냅니다. 척도 모수는 대표 수명을, 형상 모수는 고장이 시간에 걸쳐 어떻게 퍼지는지를 정합니다. 형상 모수가 1보다 작으면 고장이 일찍 나타나고, 1이면 일정한 비율로 일어나며(지수 분포), 1보다 크면 부품이 마모됩니다. 엑셀에는 WEIBULL.DIST는 있지만 역함수가 없어서, 값은 =scale * (-LN(1 - RAND()))^(1 / shape)로 뽑습니다. 형상 모수 1.5, 척도 모수 20,000시간인 펌프는 평균 18,055시간 지속합니다. 연속 가동 1년 안에 고장 나는 펌프는 25.2%입니다.
형상 모수와 척도 모수
척도 모수(η, 에타)는 특성 수명입니다. 형상 모수가 얼마든 특성 수명까지 고장 난 제품은 63.2%입니다. 형상 모수(β, 베타)는 고장률, 즉 지금까지 가동 중인 제품이 다음 한 시간 안에 고장 날 확률이 나이에 따라 어떻게 변하는지를 나타냅니다.
- 1보다 작을 때: 고장률이 나이와 함께 떨어집니다. 약한 제품이 일찍 고장 나고(초기 고장), 살아남은 제품은 오래 갑니다.
- 정확히 1일 때: 고장률이 일정합니다. 나이는 상관없으며, 지수 분포입니다.
- 1보다 클 때: 부품이 마모되므로 고장률이 나이와 함께 커집니다. 형상 모수가 1.5이면 20,000시간 된 펌프는 5,000시간 된 펌프보다 다음 한 시간 안에 고장 날 확률이 2.0배입니다. 3~4 부근에서는 수명이 척도 모수를 중심으로 거의 대칭입니다.
차트 읽는 법: 선 하나가 같은 척도에서 형상 값 하나입니다. 선이 높은 나이에는 많은 제품이 고장 납니다. 형상 0.8에서는 고장 대부분이 처음에 몰리고, 형상 3에서는 대표 수명 둘레에 모입니다.
엑셀의 와이블 분포
WEIBULL.DIST(x, shape, scale, TRUE)는 나이 x까지 고장 난 제품의 비율을 돌려줍니다. 따라서 =WEIBULL.DIST(8760, 1.5, 20000, TRUE)의 결과는 25.2%이며, 펌프가 1년(8,760시간) 안에 고장 날 확률입니다. 엑셀은 형상 모수를 alpha, 척도 모수를 beta라고 부르지만 엔지니어는 형상 모수를 β, 척도 모수를 η로 쓰는 경우가 많으니 순서를 확인하세요. 무작위 수명을 뽑으려면 0과 1 사이의 난수 u를 나이로 바꿉니다. 수명은 척도 모수 × (−ln(1 − u))1/형상 모수이고, 셀 하나에 쓰면 =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10)입니다.
차트 읽는 법: 막대는 시뮬레이션한 10,000개 값 중 그 구간에 들어간 개수이고, 선은 이론 곡선입니다. 막대가 높을수록 그 값이 자주 나옵니다. 점선은 B10 수명과 평균을 나타냅니다.
| 셀 | 수식 | 값 |
|---|---|---|
| 난수 u(I10) | =RAND() | |
| 추출값(J10) | =F10*(-LN(1-I10))^(1/D10) | |
| 셀 하나로 추출 | =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10) | |
| 평균(K10) | =F10*EXP(GAMMALN(1+1/D10)) | 18,055 |
| P10 (L10) | =F10*(-LN(1-0.1))^(1/D10) | 4,462 |
| P90 (M10) | =F10*(-LN(1-0.9))^(1/D10) | 34,874 |
수치 확인: 이론값과 엑셀, xellstorm의 10,000개 추출값 비교
| 이론값 | 엑셀, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 평균 | 18,055 | 18,229 | 18,055 |
| 표준편차 | 12,259 | 12,465 | 12,262 |
| P10 | 4,462 | 4,443 | 4,462 |
| P50(중앙값) | 15,664 | 15,628 | 15,665 |
| P90 | 34,874 | 35,730 | 34,870 |
엑셀은 RAND()로 완전히 무작위하게 뽑고, xellstorm은 추출값을 범위 전체에 고르게 퍼뜨립니다(라틴 하이퍼큐브 샘플링). 그래서 통계값이 이론값에 더 가깝게 나옵니다.
B10 수명은 제품의 10%가 고장 난 나이로, P10입니다. 이 펌프는 4,462시간입니다. 중앙값 수명은 15,664시간, 평균은 18,055시간입니다. 소수의 펌프가 대부분보다 훨씬 오래 가므로 평균이 중앙값보다 높습니다.
지수 분포: 형상 모수가 1인 와이블 분포
고장이나 도착이 일정한 평균 비율로 무작위하게 일어나면 그 사이의 시간은 지수 분포를 따릅니다. 평균 500시간마다 한 번 고장 난다면 시간당 비율은 0.002입니다. 모수는 평균(또는 그 역수인 비율) 하나뿐이고, 기억이 없습니다. 이미 기다린 시간은 앞으로 기다릴 시간과 무관합니다. 1,000시간 동안 고장 없이 가동한 기계도 다음 한 주(168시간)를 무사히 넘길 확률은 새 기계와 똑같이 71.5%입니다. 간격은 대부분 짧습니다. 평균보다 짧은 간격이 63.2%이고, 중앙값은 347시간밖에 되지 않습니다.
| 셀 | 수식 | 값 |
|---|---|---|
| 난수 u(I11) | =RAND() | |
| 추출값(J11) | =-D11*LN(1-I11) | |
| 셀 하나로 추출 | =-D11*LN(1-RAND()) | |
| 평균(K11) | =D11 | 500 |
| P10 (L11) | =-D11*LN(1-0.1) | 53 |
| P90 (M11) | =-D11*LN(1-0.9) | 1,151 |
수치 확인: 이론값과 엑셀, xellstorm의 10,000개 추출값 비교
| 이론값 | 엑셀, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 평균 | 500 | 497 | 500 |
| 표준편차 | 500 | 499 | 500 |
| P10 | 53 | 54 | 53 |
| P50(중앙값) | 347 | 347 | 347 |
| P90 | 1,151 | 1,132 | 1,151 |
엑셀은 RAND()로 완전히 무작위하게 뽑고, xellstorm은 추출값을 범위 전체에 고르게 퍼뜨립니다(라틴 하이퍼큐브 샘플링). 그래서 통계값이 이론값에 더 가깝게 나옵니다.
엑셀의 EXPON.DIST(x, rate, TRUE)는 평균이 아니라 비율(1 / 평균)을 받습니다. 추출값은 =-D11*LN(1-RAND())입니다. 이런 사건 여러 개가 연달아 일어나는 전체 시간은 감마 분포를 따르고, 일정 기간의 사건 수는 푸아송 분포를 따릅니다.
와이블 분포와 지수 분포를 쓰는 경우
- 와이블 분포는 부품과 장비의 수명, 피로, 나이가 영향을 주는 모든 고장까지의 시간에 씁니다. 고장 데이터가 있으면 적합하세요. 직렬 시스템 신뢰성 예제는 이 펌프를 포함한 와이블 부품 4개를 결합합니다.
- 지수 분포는 무작위 사건 사이의 시간에 씁니다. 부품이 많은 시스템의 고장, 고객 도착, 전화 같은 경우입니다. 마모에는 쓰지 마세요. 오래된 제품의 고장을 실제보다 낮게 봅니다.
- 로그정규 분포는 수리 시간처럼 짧은 경우가 드문 기간에 씁니다. 같은 데이터에 와이블 분포와 함께 적합하는 일이 많습니다.
xellstorm에서 와이블 분포와 지수 분포 입력하는 법
- 셀을 입력으로 만들고 분포 단계에서 와이블 분포를 고른 뒤 형상과 scale을 입력합니다(loc은 고장이 없는 기간이며 보통 0입니다). 지수 분포라면 메뉴에서 지수 분포를 고르고 평균을 scale로 입력합니다.
- 고장 시간 데이터가 있으면 입력을 선택하고 사이드 패널의 “데이터로” 탭을 씁니다. 와이블, 지수, 감마, 로그정규 분포(모두 0에서 시작)를 비롯한 여러 모양을 적합하고 순위를 매기므로 어느 쪽을 데이터가 뒷받침하는지 볼 수 있습니다.
- 수명을 필요한 답으로 바꾸는 것은 엑셀 수식이 합니다. 첫 고장에서 멈추는 시스템은 부품 수명의
MIN이고,IF(life<8760,1,0)은 1년 안의 고장을 셉니다.
변환되는 애드인 함수는 RiskWeibull, VoseWeibull, PsiWeibull(와이블 분포), RiskExpon, VoseExpon, PsiExponential(지수 분포)입니다.
자주 묻는 질문
엑셀에서 와이블 난수는 어떻게 만드나요?
엑셀에는 WEIBULL.INV가 없으므로 분포를 직접 역으로 풉니다. =scale*(-LN(1-RAND()))^(1/shape)입니다. 형상 모수 1.5, 척도 모수 20,000이면 =20000*(-LN(1-RAND()))^(1/1.5)입니다. 위 표에서 보듯 추출값은 이론 와이블 분포를 따릅니다.
와이블 분포의 형상 모수와 척도 모수는 무엇을 뜻하나요?
척도 모수는 특성 수명입니다. 이 나이까지 고장 나는 제품은 63.2%입니다. 형상 모수는 시간에 따른 고장률을 나타냅니다. 1보다 작으면 고장률이 떨어지고(초기 고장), 1이면 일정하며(무작위 고장), 1보다 크면 올라갑니다(마모 고장).
B10 수명은 무엇인가요?
B10 수명은 제품의 10%가 고장 난 나이로, 수명 분포의 P10이며 척도 모수 × (−ln 0.9)1/형상 모수입니다. 형상 모수 1.5, 척도 모수 20,000시간인 펌프는 4,462시간입니다.
지수 분포는 와이블 분포와 어떤 관계인가요?
지수 분포는 형상 모수가 1인 와이블 분포이며, 평균이 척도 모수가 됩니다. 나이에 좌우되지 않는 수명을 나타냅니다. 다음 한 시간 안에 고장 날 확률은 새 제품이나 오래된 제품이나 같습니다.
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