Excel 韋伯分配：形狀參數、尺度參數與失效時間
一句話說：一個零件用多久會壞。一個數字決定典型壽命，另一個數字說明失效是來得早、隨機發生，還是零件用舊了才壞。
韋伯分配描述一個東西用多久會失效。尺度參數決定典型壽命，形狀參數決定失效如何隨時間出現：小於 1 時失效來得早，等於 1 時以固定速率發生（也就是指數分配），大於 1 時零件會耗損。Excel 有 WEIBULL.DIST，但沒有反函數，所以抽樣要寫成 =scale * (-LN(1 - RAND()))^(1 / shape)。形狀參數 1.5、尺度參數 20,000 小時的幫浦，平均能用 18,055 小時，連續運轉一年內有 25.2% 的幫浦會失效。
形狀參數與尺度參數
尺度參數（η，eta）是特徵壽命：不論形狀參數是多少，運轉到這個壽命時，都有 63.2% 的機件已經失效。形狀參數（β，beta）說明失效率（還在運轉的機件，下一小時內壞掉的機率）如何隨使用時間變化：
- 小於 1：失效率隨使用時間下降。體質弱的機件很早就壞（早夭期失效），撐過去的就耐用。
- 剛好等於 1：失效率固定。與使用時間無關，這就是指數分配。
- 大於 1：失效率隨使用時間上升，因為零件會耗損。形狀參數 1.5 時，運轉 20,000 小時的幫浦，下一小時失效的可能性，是運轉 5,000 小時者的 2.0 倍。形狀參數約 3 到 4 時，壽命幾乎以尺度參數為中心左右對稱。
圖怎麼看：每條線是同一個尺度參數下的一種形狀參數。線高的地方，就是很多機件在那個使用時間失效：形狀參數 0.8 時，多數失效出現在一開始；形狀參數 3 時，失效集中在典型壽命附近。
Excel 中的韋伯分配
WEIBULL.DIST(x, shape, scale, TRUE) 得到使用到 x 時已失效的比例，所以 =WEIBULL.DIST(8760, 1.5, 20000, TRUE) 回傳 25.2%，也就是幫浦一年內（8,760 小時）失效的機率。Excel 把形狀參數稱為 alpha、尺度參數稱為 beta，而工程師常把形狀參數寫成 β、尺度參數寫成 η，所以要留意順序。要抽出隨機壽命，就把 0 到 1 之間的亂數 u 換算成使用時間：壽命是 scale × (−ln(1 − u))1/shape，在單一儲存格裡是 =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10)。
圖怎麼看：每根長條是 10,000 個模擬值中，落在那一段的個數；線條是理論曲線。長條愈高，值落在那裡的次數愈多。虛線標出 B10 壽命與平均值。
| 儲存格 | 公式 | 值 |
|---|---|---|
| 亂數 u (I10) | =RAND() | |
| 抽樣值 (J10) | =F10*(-LN(1-I10))^(1/D10) | |
| 單一儲存格的抽樣 | =F10*(-LN(1-RAND()))^(1/D10) | |
| 平均值 (K10) | =F10*EXP(GAMMALN(1+1/D10)) | 18,055 |
| P10 (L10) | =F10*(-LN(1-0.1))^(1/D10) | 4,462 |
| P90 (M10) | =F10*(-LN(1-0.9))^(1/D10) | 34,874 |
核對數字：理論值，對照 Excel 與 xellstorm 各 10,000 個抽樣值
| 理論值 | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 平均值 | 18,055 | 18,229 | 18,055 |
| 標準差 | 12,259 | 12,465 | 12,262 |
| P10 | 4,462 | 4,443 | 4,462 |
| P50（中位數） | 15,664 | 15,628 | 15,665 |
| P90 | 34,874 | 35,730 | 34,870 |
Excel 用 RAND() 完全隨機抽樣；xellstorm 把抽樣值平均分散在整個範圍（拉丁超立方抽樣），所以統計量更貼近理論值。
B10 壽命是 10% 的機件已經失效時的使用時間，也就是 P10：這台幫浦是 4,462 小時。壽命中位數是 15,664 小時，平均值是 18,055；平均值高於中位數，因為少數幫浦用得比多數久得多。
指數分配：形狀參數為 1 的韋伯分配
失效或到達以固定的平均速率隨機發生時，事件之間的時間就是指數分配：平均每 500 小時故障一次，表示每小時的速率是 0.002。它只有一個參數，就是平均值（或它的倒數，速率），而且沒有記憶性，也就是已經等了多久，完全不影響還要再等多久：已運轉 1,000 小時沒故障的機器，撐過下一週（168 小時）的機率是 71.5%，與新機器相同。多數間隔很短：63.2% 的間隔短於平均值，中位數只有 347 小時。
| 儲存格 | 公式 | 值 |
|---|---|---|
| 亂數 u (I11) | =RAND() | |
| 抽樣值 (J11) | =-D11*LN(1-I11) | |
| 單一儲存格的抽樣 | =-D11*LN(1-RAND()) | |
| 平均值 (K11) | =D11 | 500 |
| P10 (L11) | =-D11*LN(1-0.1) | 53 |
| P90 (M11) | =-D11*LN(1-0.9) | 1,151 |
核對數字：理論值，對照 Excel 與 xellstorm 各 10,000 個抽樣值
| 理論值 | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 平均值 | 500 | 497 | 500 |
| 標準差 | 500 | 499 | 500 |
| P10 | 53 | 54 | 53 |
| P50（中位數） | 347 | 347 | 347 |
| P90 | 1,151 | 1,132 | 1,151 |
Excel 用 RAND() 完全隨機抽樣；xellstorm 把抽樣值平均分散在整個範圍（拉丁超立方抽樣），所以統計量更貼近理論值。
在 Excel 裡，EXPON.DIST(x, rate, TRUE) 要填的是速率，也就是 1 / 平均值，不是平均值。抽樣公式是 =-D11*LN(1-RAND())。連續幾次這類事件的總時間，服從伽瑪分配；固定期間內的事件數，則服從卜瓦松分配。
何時用韋伯分配或指數分配
- 韋伯分配用於零組件與設備的壽命、疲勞，以及任何使用時間會影響結果的失效時間。有失效資料時，就配適它。串聯系統可靠度範例結合了四個韋伯零組件，這台幫浦就是其中之一。
- 指數分配用於隨機事件之間的時間：多零件系統的故障、顧客到達、來電。不要用在耗損失效上，它會低估老舊機件的失效。
- 對數常態分配用於維修時間，以及其他很少很短的工期；常與韋伯分配一起對同一份資料配適。
在 xellstorm 設定韋伯與指數分配
- 把儲存格設為輸入，在「分配」步驟選韋伯分配，輸入形狀與 scale（loc 是無失效期，通常為 0）。要用指數分配，就選指數分配，把平均值填在 scale。
- 有失效時間時，選取該輸入，用側邊面板的「由資料」：它會配適韋伯、指數、伽瑪與對數常態分配（都從 0 起算）等形狀並排名，看得出資料支持哪一個。
- 用 Excel 檔案裡的公式，把壽命轉成要的答案：遇到第一個失效就停機的系統，壽命是各零組件壽命的
MIN；IF(life<8760,1,0)則計算一年內的失效。
增益集模型可轉換 RiskWeibull、VoseWeibull 與 PsiWeibull，以及 RiskExpon、VoseExpon 與 PsiExponential。
常見問題
Excel 怎麼產生韋伯分配的亂數？
Excel 沒有 WEIBULL.INV，所以要自己反推分配：=scale*(-LN(1-RAND()))^(1/shape)。形狀參數 1.5、尺度參數 20,000 時，就是 =20000*(-LN(1-RAND()))^(1/1.5)。如上表所示，這些抽樣值服從的正是韋伯分配。
韋伯分配的形狀參數與尺度參數代表什麼？
尺度參數是特徵壽命，使用到這個時間時，有 63.2% 的機件已經失效。形狀參數描述失效率隨時間的變化：小於 1 時下降（早期失效），等於 1 時固定（隨機失效），大於 1 時上升（耗損失效）。
B10 壽命是什麼？
B10 壽命是 10% 的機件已經失效時的使用時間：就是壽命分配的 P10，即 scale × (−ln 0.9)1/shape。形狀參數 1.5、尺度參數 20,000 小時的幫浦，是 4,462 小時。
指數分配與韋伯分配有什麼關係？
指數分配就是形狀參數為 1 的韋伯分配，以平均值為尺度參數。它描述與使用時間無關的壽命：接下來一小時失效的機率，新機件與舊機件都一樣。
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