NPV（淨現值）為負的機率有多高？
這個新產品線的投資評估，基準情境在 9% 的折現率下，NPV（淨現值）為 562（單位：千美元），IRR（內部報酬率）為 17.2%；但在 10,000 次模擬結果中，仍有 29.6% 的 NPV 為負。要算出這個機率，就得做蒙地卡羅模擬：讓現金流量模型中不確定的假設從範圍抽值，把模型重複計算數千次，再數 NPV 低於零的結果有多少。
平均 NPV 為 268；IRR 低於 9% 的結果，剛好就是 NPV 為負的那些。基準情境只是單一結果，而且是有利的一種：有 73.7% 的模擬結果比它差。
模型
Excel 檔案是一份一般的五年期投資評估，分兩張工作表。Assumptions 有一張含 Low、Base、High（低、基準、高）三欄的表格：投資額、第一年銷量與成長率、價格、單位成本；固定成本、營運資金、稅率與折現率則各只有一個值。Model 把 Base 欄算成逐年的營收、EBITDA、折舊、稅與營運資金變動，最後得出自由現金流量、NPV 與 IRR，全是一般公式，沒有增益集函數。產品線營運五年：營運資金在第 5 年收回，之後沒有收益。稅額為 EBIT 的 25%，虧損則會減少公司其他利潤的稅額。
模擬時，每個有範圍的假設都成為從「低」經「基準」到「高」的 PERT 分配，三個參數都指向那幾個儲存格：改表格，模擬就跟著變，不會有第二份數字。競爭對手有 30% 的機率進入市場，並從第 3 年起把價格調降 10%。價格與單位成本一起變動，等級相關為 0.6，因為原料成本會同時帶動兩者。
| 假設 | 低 | 基準 | 高 |
|---|---|---|---|
| 投資額 | 1,800 | 2,000 | 2,600 |
| 第 1 年銷量 | 30 | 40 | 50 |
| 每年銷量成長率 | 2% | 8% | 13% |
| 單位價格（USD） | 54 | 60 | 65 |
| 單位成本（USD） | 31 | 34 | 40 |
| 第 1 年固定成本 | 400 |
|---|---|
| 固定成本每年成長率 | 3% |
| 競爭對手進入時的降價幅度 | 10% |
| 營運資金（占營收比例） | 15% |
| 稅率 | 25% |
| 折現率 | 9% |
| 競爭對手進入的機率（自第 3 年起降價） | 30% |
NPV 儲存格是 =B14+NPV(Assumptions!C16,C14:G14)。Excel 的 NPV() 會把收到的第一個值折現整整一年，所以第 0 年的投資要加在函數外面；放進函數裡，每筆現金流量都會多折現一年，等於 NPV 除以 1 + 折現率：此處為 515，而不是 562。IRR 儲存格是 =IRR(B14:G14)，涵蓋全部六筆現金流量。
為什麼基準情境不等於預期情況
投資評估通常以基準情境呈現：每個假設都取最可能值。有兩個因素把模擬結果拉到它下面。第一，基準情境完全沒有競爭對手，但對手有 30% 的機率進入市場，一旦進入，NPV 平均為 −62，而不是 410。第二，範圍偏斜的方向正好不利：投資額以基準值 2,000 為中心，最好為 1,800，最差達 2,600，所以模擬平均值為 2,067；單位成本從 34 往上延伸（40）比往下（31）更遠，而價格與銷量成長率則是往下比往上延伸得更遠。
兩者合計，平均 NPV 為 268，比基準情境的 562 低 294。「基準」欄的每個值都是最可能值，基準情境只是沒把可能出錯的部分算進去。
結果
| 基準情境（所有假設取「基準」值，無競爭對手） | 562 |
|---|---|
| 模擬 NPV 的平均值 | 268 |
| P10（10% 的結果低於此值） | −328 |
| P50 | 253 |
| P90 | 884 |
| 最差 5% 的平均值 | −626 |
| NPV 為負的機率 | 29.6% |
| IRR 低於 9% 的機率 | 29.6% |
| IRR：基準情境／P50 | 17.2% / 12.7% |
NPV 與 IRR 說的是同一件事
以 9% 折現後 NPV 為負，表示專案的年報酬率低於 9%，也就是 IRR 低於 9% 的意思。在這個模型裡，兩者在同樣 29.6% 的結果中同時發生，每次試驗都是如此：現金流量從投資開始，只轉正一次，所以每個結果只有一個 IRR。IRR 自己的範圍，P10 為 3.8%、P50 為 12.7%、P90 為 21.4%，基準情境則為 17.2%。
NPV 比較適合拿來模擬與報告。它可以相加，所以模擬 NPV 的平均值就是預期現金流量的 NPV，而且每個結果都有定義。現金流量不只一次變號的專案，例如中途有大規模大修，或期末要付清理成本，可能有不只一個 IRR，也可能沒有。
影響價值的因素
變異貢獻度顯示哪些假設造成 NPV 的波動；xellstorm 依試驗的等級估算，與應用程式顯示的方式相同。「第 1 年銷量」排第一，占 32.8%，其次是價格（24.1%）、競爭對手（18.0%）與單位成本（15.8%）。這些占比是把每個輸入當成單獨變動來算。價格與單位成本一起變動，所以占比互有重疊：兩者合計約占迴歸模型所能解釋部分的 22%，而不是兩個占比相加的 39.9%。投資額常是投資評估中爭論最多的數字，卻只解釋 4.5%。做銷量的市場研究，並為競爭對手出現時擬好定價方案，比再談一輪資本預算更能縮小範圍。龍捲風圖與敏感度分析會說明這些指標。
一起變動的假設
如果價格與單位成本各自獨立抽取，模擬出現高成本搭配低價格的頻率，就會超過實際業務可能發生的程度，進而高估風險：NPV 的標準差會是 535，而不是 463；NPV 為負的機率會是 31.9%，而不是 29.6%；P5 會是 −590，而不是 −473。遺漏相關性，誤差可能朝任一方向；這裡成本與價格一起上升，遺漏它會讓案例看起來比實際風險更高。在 xellstorm 裡，相關性只會重新排列抽出的值，不會改變任何輸入自己的分配，也能用歷史資料估計。
親自試試
- 在 xellstorm 開啟模型。輸入、輸出、相關性與目標「NPV 低於零」都已設好；不必安裝，也不必註冊，Excel 檔案直接在瀏覽器計算。
- 照相同的亂數種子與試驗次數執行，就會得到本頁的數字。把滑鼠移到 S 曲線上，可讀出 NPV 低於任何值的機率。
- 在 Distributions 步驟改一個範圍，或在情境裡設定競爭對手進入的機率，再執行一次，看 NPV 為負的機率怎麼變。
- 接著開啟自己的投資評估，在工作表或模型圖上選出沒把握的假設。在 Distributions 步驟，假設旁若有 Low / Base / High（低／基準／高）表格，點一下就能連結到它的分配。
只用 Excel 也做得到嗎？
做得到，只是比較費工：把每個假設換成會抽出亂數的公式，用資料表重複計算，再數 NPV 為負的次數。Excel 蒙地卡羅模擬示範這些公式，也說明交給工具執行後有哪些不同。
常見問題
NPV 為負代表專案虧錢嗎？
不一定。NPV 為負，代表專案的報酬低於折現率（此處為每年 9%），但仍可能以現金收回投資。在這個模型中，NPV 為負的結果有 89% 帶回的現金仍多於投入的金額。NPV 為負，損失的是價值：與同樣風險下這筆錢在別處能賺到的報酬相比，少掉的那一部分。
為什麼 Excel 的 NPV 函數算出不同的答案？
NPV(rate, values) 把第一個值當成一期之後才收到。若第 0 年的投資放在範圍內，每筆現金流量都會多折現一年。像這個 Excel 檔案一樣，把第 0 年的現金流量加在函數外面，或改用帶日期的 XNPV。
模擬應使用什麼折現率？
專案的資金成本：投資人要求的、對應其市場風險的報酬。模擬已把專案本身的不確定性放進現金流量，如果採用為同樣風險加碼過的利率（門檻利率常是如此），這些風險就算了兩次。
應該報告平均 NPV 還是基準情境？
平均 NPV 是專案的期望值，與其他方案比較時就看這個數字；基準情境只是眾多結果之一。報告時，請把平均值、NPV 為負的機率，以及 P10 到 P90 之類的範圍（此處為 −328 到 884）一併列出，讓讀者看到下行風險，而不只是中間值。
需要多少次試驗才夠？
多到所報告的數字在各次執行之間不再變動：試驗次數增為四倍，模擬平均值的雜訊就減半。本例用了 10,000 次試驗；xellstorm 也能持續執行，直到平均值與百分位數穩定在所選的容許誤差內。請參閱需要多少次試驗。
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