Quelle est la probabilité d’une NPV (VAN) négative ?
Dans ce dossier d’investissement pour une nouvelle ligne de produits, la NPV (valeur actuelle nette) est négative dans 29,6 % des 10 000 résultats simulés, alors que le cas de référence donne une NPV de 562 (milliers de dollars US) et un IRR (taux de rentabilité interne) de 17,2 % à un taux d’actualisation de 9 %. Pour trouver cette probabilité, faites tourner le modèle de flux de trésorerie des milliers de fois en tirant ses hypothèses incertaines dans des fourchettes (c’est une simulation de Monte-Carlo), puis comptez les résultats où la NPV est inférieure à zéro.
La NPV moyenne est de 268, et l’IRR passe sous 9 % dans exactement les résultats où la NPV est négative. Le cas de référence est un résultat unique, et il est favorable : 73,7 % des résultats simulés sont moins bons.
Le modèle
Le fichier Excel est un dossier d’investissement ordinaire sur cinq ans, en deux feuilles. Assumptions (hypothèses) contient un tableau avec des colonnes Low, Base et High : l’investissement, le volume de la première année et sa croissance, le prix et le coût unitaire, plus les coûts fixes, le fonds de roulement, l’impôt et le taux d’actualisation, à une seule valeur chacun. Model (modèle) transforme la colonne Base en chiffre d’affaires, EBITDA, amortissement, impôt et variation du fonds de roulement, année par année, et aboutit au flux de trésorerie disponible, à la NPV et à l’IRR, avec des formules simples et sans fonction de complément. La ligne de produits dure cinq ans : le fonds de roulement est récupéré en année 5 et rien n’est gagné ensuite. L’impôt représente 25 % de l’EBIT, et une perte réduit l’impôt sur les autres bénéfices de l’entreprise.
Pour la simulation, chaque hypothèse à fourchette devient une distribution PERT de Low à High en passant par Base, et ses trois paramètres pointent vers ces cellules : modifiez le tableau et la simulation suit, sans seconde copie des nombres. Un concurrent arrive avec une probabilité de 30 % et baisse alors le prix de 10 % dès l’année 3. Le prix et le coût unitaire évoluent ensemble, avec une corrélation de rang de 0,6, parce que le coût des matières pousse les deux.
| Hypothèse | Low | Base | High |
|---|---|---|---|
| Investissement | 1 800 | 2 000 | 2 600 |
| Volume de l’année 1 | 30 | 40 | 50 |
| Croissance du volume par an | 2 % | 8 % | 13 % |
| Prix unitaire (USD) | 54 | 60 | 65 |
| Coût unitaire (USD) | 31 | 34 | 40 |
| Coûts fixes, année 1 | 400 |
|---|---|
| Croissance des coûts fixes par an | 3 % |
| Baisse de prix si un concurrent entre | 10 % |
| Fonds de roulement (part du chiffre d’affaires) | 15 % |
| Taux d’imposition | 25 % |
| Taux d’actualisation | 9 % |
| Probabilité qu’un concurrent entre (la baisse de prix s’applique à partir de l’année 3) | 30 % |
La cellule de la NPV est =B14+NPV(Assumptions!C16,C14:G14). La fonction NPV() d’Excel actualise d’une année entière la première valeur qu’elle reçoit ; l’investissement de l’année 0 est donc ajouté en dehors de la fonction. Le placer à l’intérieur actualiserait chaque flux de trésorerie une année de trop et diviserait la NPV par 1 + taux : 515 au lieu de 562 ici. La cellule de l’IRR est =IRR(B14:G14), sur les six flux de trésorerie.
Pourquoi le cas de référence n’est pas le cas attendu
Un dossier d’investissement est généralement présenté dans son cas de référence : chaque hypothèse à sa valeur la plus probable. Deux choses tirent les résultats simulés en dessous. Le concurrent n’est pas du tout dans le cas de référence, alors qu’il entre avec une probabilité de 30 % ; quand il entre, la NPV moyenne est de −62 au lieu de 410. Et les fourchettes sont déséquilibrées là où cela fait mal : l’investissement, dont la base est de 2 000, peut descendre à 1 800 au mieux mais monter à 2 600 au pire, si bien que sa moyenne simulée est de 2 067 ; le coût unitaire monte plus haut (40) qu’il ne descend (31) à partir de 34, tandis que le prix et la croissance du volume descendent plus bas qu’ils ne montent.
Ensemble, ces deux effets portent la NPV moyenne à 268, soit 294 de moins que le cas de référence de 562. Chaque valeur de Base est la plus probable ; le cas de référence ne fait qu’omettre ce qui peut mal tourner.
Résultats
| Cas de référence (chaque hypothèse à Base, sans concurrent) | 562 |
|---|---|
| Moyenne des NPV simulées | 268 |
| P10 (10 % des résultats sont inférieurs) | −328 |
| P50 | 253 |
| P90 | 884 |
| Moyenne des 5 % les plus défavorables | −626 |
| Probabilité d’une NPV négative | 29,6 % |
| Probabilité que l’IRR soit inférieur à 9 % | 29,6 % |
| IRR : cas de référence / P50 | 17,2 % / 12,7 % |
NPV et IRR racontent la même histoire
Une NPV négative à 9 % signifie que le projet rapporte moins de 9 % par an, ce que dit aussi un IRR inférieur à 9 %. Dans ce modèle, les deux se produisent dans les mêmes 29,6 % des résultats, itération par itération : les flux de trésorerie commencent par l’investissement et ne deviennent positifs qu’une fois, donc chaque résultat n’a qu’un IRR. L’IRR lui-même s’étale de 3,8 % au P10 à 21,4 % au P90, avec 12,7 % au P50, contre 17,2 % dans le cas de référence.
La NPV est la meilleure mesure à simuler et à présenter. Elle s’additionne : la moyenne des NPV simulées est donc la NPV des flux de trésorerie attendus, et elle est définie dans chaque résultat. Un projet dont les flux changent de signe plus d’une fois, par exemple avec une grosse révision à mi-vie ou un coût de remise en état à la fin, peut avoir plusieurs IRR, ou aucun.
Ce qui fait varier la valeur
La contribution à la variance indique quelles hypothèses expliquent la dispersion de la NPV ; xellstorm l’estime à partir des rangs des itérations, comme l’application. « Volume de l’année 1 » arrive en tête avec 32,8 %, puis le prix avec 24,1 %, le concurrent avec 18,0 % et le coût unitaire avec 15,8 %. Ces parts traitent chaque entrée comme si elle variait seule. Le prix et le coût unitaire évoluent ensemble, leurs parts se recouvrent donc : pris en paire, ils expliquent environ 22 % de ce que la régression explique, et non les 39,9 % que donne la somme de leurs deux parts. L’investissement, souvent le chiffre le plus débattu du dossier, n’explique que 4,5 %. Une étude de marché sur le volume et un plan de prix pour l’arrivée d’un concurrent réduiraient davantage la fourchette qu’une nouvelle passe sur le budget d’investissement. Diagrammes en tornade et analyse de sensibilité explique ces mesures.
Des hypothèses qui évoluent ensemble
Si le prix et le coût unitaire étaient tirés indépendamment, la simulation associerait des coûts élevés à des prix bas plus souvent que l’activité ne le permet, et surestimerait le risque : l’écart type de la NPV serait de 535 au lieu de 463, la probabilité d’une NPV négative de 31,9 % au lieu de 29,6 %, et le P5 de −590 au lieu de −473. Une corrélation omise peut fausser le résultat dans un sens comme dans l’autre ; ici, où coûts et prix montent ensemble, l’omettre fait paraître le dossier plus risqué qu’il ne l’est. Dans xellstorm, une corrélation réordonne les tirages sans changer la distribution propre de chaque entrée, et on peut l’estimer à partir de données historiques.
Essayez vous-même
- Ouvrez le modèle dans xellstorm. Ses entrées, ses sorties, la corrélation et l’objectif « NPV below zero » (NPV inférieure à zéro) sont déjà définis ; rien à installer, pas d’inscription, et le calcul se fait dans votre navigateur.
- Lancez la simulation : avec la même graine et le même nombre d’itérations, vous retrouvez les nombres de cette page. Survolez la courbe en S pour lire la probabilité que la NPV tombe sous une valeur quelconque.
- Modifiez une fourchette à l’étape Distributions, ou fixez la probabilité d’arrivée du concurrent dans un scénario, puis relancez pour voir bouger la probabilité d’une NPV négative.
- Ouvrez ensuite votre propre dossier d’investissement et sélectionnez, sur la feuille ou sur la carte du modèle, les hypothèses dont vous doutez. À l’étape Distributions, un tableau Low / Base / High placé à côté d’une hypothèse la relie à sa distribution en un clic.
Puis-je le faire avec Excel seul ?
Oui, avec plus de travail : remplacez chaque hypothèse par une formule qui tire une valeur aléatoire, répétez le calcul avec une table de données, et comptez les NPV négatives. La simulation de Monte-Carlo dans Excel montre les formules, et ce qui change quand un outil fait tourner le modèle à votre place.
Questions
Une NPV négative signifie-t-elle que le projet perd de l’argent ?
Pas forcément. Une NPV négative signifie que le projet rapporte moins que le taux d’actualisation, ici 9 % par an ; il peut quand même rembourser son investissement en trésorerie. Dans ce modèle, 89 % des résultats à NPV négative restituent tout de même plus de trésorerie que le montant investi. Ce qu’une NPV négative détruit, c’est de la valeur par rapport au rendement que l’argent pourrait rapporter ailleurs pour le même risque.
Pourquoi la fonction NPV d’Excel donne-t-elle un résultat différent ?
NPV(rate, values) considère que sa première valeur tombe dans une période. Avec l’investissement de l’année 0 dans la plage, chaque flux de trésorerie est actualisé une année de trop. Ajoutez le flux de l’année 0 en dehors de la fonction, comme le fait ce modèle, ou utilisez XNPV avec des dates.
Quel taux d’actualisation la simulation doit-elle utiliser ?
Le coût du capital du projet : le rendement qu’exigent les investisseurs pour son risque de marché. La simulation intègre déjà les incertitudes propres du projet dans les flux de trésorerie ; un taux majoré pour ces mêmes risques, comme le sont souvent les taux de rentabilité minimale, les compterait deux fois.
Faut-il rapporter la NPV moyenne ou le cas de référence ?
La NPV moyenne est la valeur espérée du projet, le chiffre à comparer aux alternatives ; le cas de référence n’est qu’un résultat parmi beaucoup d’autres. Rapportez la moyenne avec la probabilité d’une NPV négative et une fourchette comme P10 à P90 (−328 à 884 ici), pour que les lecteurs voient le risque de baisse et pas seulement la valeur centrale.
Combien d’itérations suffisent ?
Assez pour que les chiffres que vous présentez cessent de bouger d’une exécution à l’autre : le bruit d’une moyenne simulée est divisé par deux chaque fois que le nombre d’itérations est multiplié par quatre. Cet exemple en utilise 10 000 ; xellstorm peut aussi continuer jusqu’à ce que la moyenne et les centiles se stabilisent dans la tolérance que vous fixez. Voir combien d’itérations.
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