Excel 貝他分配：不確定的比例、比率與百分比
一句話說：不確定的百分比，例如續約率。它一定落在 0% 到 100% 之間；兩個數字決定它集中在哪裡，以及有多大把握。
貝他分配描述不確定的比例、比率或百分比：必須落在 0 與 1 之間的值，例如續約率、市占率或良率。兩個形狀參數 alpha 與 beta 決定它，平均值是 alpha / (alpha + beta)。在 Excel 中，=BETA.INV(RAND(), alpha, beta) 可以抽樣。續約率的 alpha 為 8、beta 為 2 時，平均值是 80.0%，P10 是 63.2%，P90 是 93.9%。
貝他分配是什麼
用常態分配描述百分比，可能掉到 0% 以下或超過 100%；貝他分配不會：它只存在於 0 到 1 的區間，兩個形狀參數能把它彎成區間內幾乎任何形狀的隆起。alpha 比 beta 愈大，值愈靠近 1；兩者都愈大，隆起愈窄。
圖怎麼看：每條線是一組 alpha 與 beta。線的峰值所在，就是這個百分比最可能落的位置；峰愈窄，把握愈大。
公式：平均值、峰值、標準差
| 項目 | 公式與範例 |
|---|---|
| 平均值 | α / (α + β) = 8 / 10 = 80.0% |
| 峰值（眾數） | (α − 1) / (α + β − 2) = 87.5% |
| 標準差 | √(α β / ((α + β)² (α + β + 1))) = 12.1% |
| 低於 60% 的機率 | =BETA.DIST(0.6, 8, 2, TRUE)= 7.1% |
由平均值與標準差設定 alpha 與 beta
很少人會用 alpha 與 beta 思考。若能說出「大約 80%，上下差 10 個百分點」（平均值 0.8、標準差 0.1），參數就能推出來：α + β = 平均值 × (1 − 平均值) / 標準差² − 1 = 15，接著 α = 平均值 × 15 = 12，β = 3。這個貝他分配比上面那個窄（標準差 12.1%）：P10 – P90 從 66.3% 到 91.9%。α + β 有個好用的讀法：它相當於估計背後的觀測筆數，所以只見過幾個案例的比率，貝他分配就寬；見過數百個案例的，就窄。
Excel 中的貝他分配
BETA.INV(probability, alpha, beta, [A], [B]) 回傳百分位數，搭配 RAND() 就是隨機抽樣：=BETA.INV(RAND(),D16,F16)。選填的 A 與 B 能把分配拉伸到別的區間，例如 20 到 60 天，PERT 分配就是這樣抽樣的：PERT 是從最小值拉伸到最大值的貝他分配。BETA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) 得到低於 x 的機率。
| 儲存格 | 公式 | 值 |
|---|---|---|
| 亂數 u (I16) | =RAND() | |
| 抽樣值 (J16) | =BETA.INV(I16, | |
| 單一儲存格的抽樣 | =BETA.INV(RAND(), | |
| 平均值 (K16) | =D16/(D16+F16) | 80.0% |
| P10 (L16) | =BETA.INV(0.1, | 63.2% |
| P90 (M16) | =BETA.INV(0.9, | 93.9% |
核對數字：理論值，對照 Excel 與 xellstorm 各 10,000 個抽樣值
| 理論值 | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 平均值 | 80.0% | 79.9% | 80.0% |
| 標準差 | 12.1% | 12.1% | 12.1% |
| P10 | 63.2% | 62.6% | 63.2% |
| P50（中位數） | 82.0% | 81.9% | 82.0% |
| P90 | 93.9% | 93.8% | 93.9% |
Excel 用 RAND() 完全隨機抽樣；xellstorm 把抽樣值平均分散在整個範圍（拉丁超立方抽樣），所以統計量更貼近理論值。
何時用貝他分配
- 比率與占比：轉換率、續約率、違約率、市占率、良率，以及依進度花掉的預算比例。
- 任何有界的量，想控制它的形狀時，把它拉伸到它的區間；若有最小、最可能與最大值，PERT 已經幫忙做好這件事。
在 xellstorm 設定貝他分配
- 把儲存格設為輸入，在「分配」步驟選貝他分配。輸入 a 與 b（alpha 與 beta）；loc 是區間的下端，scale 是區間的寬度，比例則設 0 與 1。
- 有過往比率時，側邊面板的「由資料」會對 0 到 1 之間的值配適貝他分配；若是別的區間，在「貝他分配：已知範圍」填入，再重新配適。
「由檔案匯入」會把 =BETA.INV(RAND(), alpha, beta)（不論有沒有 A 與 B）轉成貝他輸入；增益集模型則可轉換 RiskBeta、RiskBetaGeneral、VoseBeta 與 PsiBeta。
常見問題
Excel 怎麼產生貝他分配的亂數？
用 =BETA.INV(RAND(), alpha, beta)，例如平均 80.0% 的比例，就寫 =BETA.INV(RAND(), 8, 2)。要在別的區間抽樣，把下限與上限填在第四與第五個引數。
alpha 與 beta 代表什麼？
兩者的比值決定中心，兩者的和決定把握程度。平均值是 α / (α + β)；α + β 愈大，分配愈窄。α = β 時，圍繞 50% 左右對稱；α = β = 1 就是 0 到 1 之間的均勻分配。
怎麼由平均值與標準差決定 alpha 與 beta？
先算 k = 平均值 × (1 − 平均值) / 標準差² − 1，再得 α = 平均值 × k，β = (1 − 平均值) × k。平均值 0.8、標準差 0.1 時：k = 15，α = 12，β = 3。標準差必須小於 √(平均值 × (1 − 平均值))，否則不存在這樣的貝他分配。
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