Loi bêta dans Excel : parts, taux et pourcentages incertains
En bref : un pourcentage incertain, comme un taux de renouvellement. Il reste toujours entre 0 % et 100 % ; deux nombres fixent son centre et votre degré de certitude.
La loi bêta décrit une part, un taux ou un pourcentage incertain : une valeur qui doit rester entre 0 et 1, comme un taux de renouvellement, une part de marché ou un rendement. Deux paramètres de forme, alpha et bêta, la définissent ; sa moyenne est alpha / (alpha + bêta). Dans Excel, =BETA.INV(RAND(), alpha, beta) en tire une valeur. Un taux de renouvellement d’alpha 8 et de bêta 2 a pour moyenne 80,0 %, avec un P10 de 63,2 % et un P90 de 93,9 %.
Ce qu’est une loi bêta
Une loi normale laisserait un pourcentage descendre sous 0 % ou dépasser 100 %. Pas une loi bêta : elle vit sur l’intervalle de 0 à 1, et ses deux paramètres de forme la courbent en à peu près n’importe quelle bosse à l’intérieur. Plus alpha est grand par rapport à bêta, plus les valeurs se rapprochent de 1 ; plus les deux sont grands, plus la bosse est étroite.
Comment lire le graphique : chaque ligne correspond à un couple d’alpha et de bêta. Là où une ligne culmine, c’est là que le pourcentage tombe le plus probablement ; un pic étroit signifie plus de certitude.
Formules : moyenne, pic, écart type
| Grandeur | Formule et exemple |
|---|---|
| Moyenne | α / (α + β) = 8 / 10 = 80,0 % |
| Pic (mode) | (α − 1) / (α + β − 2) = 87,5 % |
| Écart type | √(α β / ((α + β)² (α + β + 1))) = 12,1 % |
| Probabilité d’être sous 60 % | =BETA.DIST(0.6, 8, 2, TRUE)= 7,1 % |
Fixer alpha et bêta à partir d’une moyenne et d’un écart type
Peu de gens raisonnent en alpha et en bêta. Si vous savez dire « environ 80 %, à 10 points près » (une moyenne de 0,8 et un écart type de 0,1), les paramètres en découlent : α + β = moyenne × (1 − moyenne) / écart type² − 1 = 15, puis α = moyenne × 15 = 12 et β = 3. Cette loi bêta est plus étroite que celle d’au-dessus (écart type 12,1 %) : son P10 – P90 va de 66,3 % à 91,9 %. Une lecture utile de α + β : il se comporte comme le nombre d’observations qui sous-tendent l’estimation ; un taux vu dans quelques cas donne donc une loi bêta large, et un taux vu dans des centaines de cas une loi étroite.
La loi bêta dans Excel
BETA.INV(probability, alpha, beta, [A], [B]) (BETA.INVERSE.N dans Excel en français) renvoie un centile, et avec RAND() un tirage aléatoire : =BETA.INV(RAND(),D16,F16). Les arguments facultatifs A et B étirent la loi sur un autre intervalle, par exemple de 20 à 60 jours, et c’est ainsi que l’on tire une distribution PERT : une PERT est une loi bêta étirée de min à max. BETA.DIST(x, alpha, beta, TRUE) (LOI.BETA.N dans Excel en français) donne la probabilité d’une valeur inférieure à x.
| Cellule | Formule | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre aléatoire u (I16) | =RAND() | |
| Tirage (J16) | =BETA.INV(I16, | |
| Tirage en une seule cellule | =BETA.INV(RAND(), | |
| Moyenne (K16) | =D16/(D16+F16) | 80,0 % |
| P10 (L16) | =BETA.INV(0.1, | 63,2 % |
| P90 (M16) | =BETA.INV(0.9, | 93,9 % |
Vérifier les chiffres : valeurs exactes comparées à 10 000 tirages d’Excel et de xellstorm
| Valeur exacte | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 80,0 % | 79,9 % | 80,0 % |
| Écart type | 12,1 % | 12,1 % | 12,1 % |
| P10 | 63,2 % | 62,6 % | 63,2 % |
| P50 (médiane) | 82,0 % | 81,9 % | 82,0 % |
| P90 | 93,9 % | 93,8 % | 93,9 % |
Excel tire avec RAND(), de façon entièrement aléatoire ; xellstorm répartit ses tirages régulièrement sur toute la fourchette (échantillonnage par hypercube latin), si bien que ses statistiques tombent plus près des valeurs exactes.
Quand utiliser une loi bêta
- Taux et parts : taux de conversion, de renouvellement et de défaut, parts de marché, rendements, part d’un budget dépensée dans les délais.
- Toute grandeur bornée dont vous voulez maîtriser la forme, étirée sur son intervalle ; pour un min, un plus probable et un max, la PERT s’en charge.
Saisir une loi bêta dans xellstorm
- Faites de la cellule une entrée puis, à l’étape Distributions, choisissez Bêta. Saisissez a et b (alpha et bêta) ; loc est l’extrémité basse et scale la largeur de l’intervalle, soit 0 et 1 pour une part.
- Avec des taux passés, « À partir de données » dans le panneau latéral ajuste une loi bêta à des valeurs comprises entre 0 et 1 ; pour un autre intervalle, saisissez-le sous « Bêta : plage connue » et ajustez à nouveau.
« Importer depuis le fichier » convertit =BETA.INV(RAND(), alpha, beta), avec ou sans A et B, en entrée bêta ; les modèles de compléments se convertissent depuis RiskBeta, RiskBetaGeneral, VoseBeta et PsiBeta.
Questions fréquentes
Comment générer des nombres aléatoires suivant une loi bêta dans Excel ?
Utilisez =BETA.INV(RAND(), alpha, beta), par exemple =BETA.INV(RAND(), 8, 2) pour une part de moyenne 80,0 %. Ajoutez une borne inférieure et une borne supérieure comme quatrième et cinquième arguments pour tirer sur un autre intervalle.
Que signifient alpha et bêta ?
Leur rapport fixe le centre et leur somme la certitude. La moyenne est α / (α + β) ; plus α + β est grand, plus la loi est étroite. α = β donne une forme symétrique autour de 50 % ; α = β = 1 donne une loi uniforme entre 0 et 1.
Comment choisir alpha et bêta à partir d’une moyenne et d’un écart type ?
Calculez k = moyenne × (1 − moyenne) / écart type² − 1, puis α = moyenne × k et β = (1 − moyenne) × k. Pour une moyenne de 0,8 et un écart type de 0,1 : k = 15, α = 12, β = 3. L’écart type doit rester inférieur à √(moyenne × (1 − moyenne)), faute de quoi aucune loi bêta n’existe.
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