엑셀 베타 분포: 불확실한 비중, 비율, 백분율
한마디로: 갱신률처럼 확실하지 않은 백분율입니다. 값이 언제나 0%와 100% 사이에 머물고, 숫자 두 개로 중심이 어디인지와 얼마나 확신하는지를 정합니다.
베타 분포는 갱신률, 시장 점유율, 수율처럼 0과 1 사이에 있어야 하는 불확실한 비중, 비율, 백분율을 나타냅니다. 형상 모수 두 개, 알파와 베타로 정해지며 평균은 alpha / (alpha + beta)입니다. 엑셀에서는 =BETA.INV(RAND(), alpha, beta)로 값을 뽑습니다. 알파 8, 베타 2인 갱신률은 평균이 80.0%이고 P10은 63.2%, P90은 93.9%입니다.
베타 분포는 무엇인가
정규 분포는 백분율이 0% 아래로 내려가거나 100%를 넘게 만들 수 있습니다. 베타 분포는 그렇지 않습니다. 0에서 1까지의 구간 안에만 있고, 두 형상 모수로 그 안에서 거의 어떤 봉우리 모양으로든 휘어집니다. 알파가 베타보다 클수록 값이 1 가까이에 모이고, 둘 다 클수록 봉우리가 좁아집니다.
차트 읽는 법: 선 하나가 알파와 베타 한 쌍입니다. 선의 봉우리가 백분율이 가장 나오기 쉬운 곳이고, 봉우리가 좁을수록 더 확신하는 것입니다.
수식: 평균, 봉우리, 표준편차
| 구하는 값 | 수식과 예시 |
|---|---|
| 평균 | α / (α + β) = 8 / 10 = 80.0% |
| 봉우리(최빈값) | (α − 1) / (α + β − 2) = 87.5% |
| 표준편차 | √(α β / ((α + β)² (α + β + 1))) = 12.1% |
| 60% 미만일 확률 | =BETA.DIST(0.6, 8, 2, TRUE)= 7.1% |
평균과 표준편차에서 알파와 베타 정하기
알파와 베타로 생각하는 사람은 드뭅니다. “약 80%, 위아래로 10퍼센트포인트”(평균 0.8, 표준편차 0.1)처럼 말할 수 있다면 모수는 거기서 나옵니다. α + β = 평균 × (1 − 평균) / 표준편차² − 1 = 15이고, α = 평균 × 15 = 12, β = 3입니다. 이 베타 분포는 위의 것(표준편차 12.1%)보다 좁아서 P10 – P90이 66.3%에서 91.9%까지입니다. α + β는 추정치의 바탕이 된 관측 수처럼 움직인다고 읽으면 유용합니다. 몇 건만 보고 얻은 비율은 넓은 베타 분포가 되고, 수백 건을 본 비율은 좁은 베타 분포가 됩니다.
엑셀의 베타 분포
BETA.INV(probability, alpha, beta, [A], [B])는 백분위수를 돌려주고, RAND()를 쓰면 난수 추출값이 나옵니다: =BETA.INV(RAND(),D16,F16). 선택 인수 A와 B로 20일에서 60일 같은 다른 구간으로 분포를 늘릴 수 있으며, PERT 분포가 이렇게 뽑힙니다. PERT는 최소에서 최대까지 늘린 베타 분포입니다. BETA.DIST(x, alpha, beta, TRUE)는 값이 x 미만일 확률을 돌려줍니다.
| 셀 | 수식 | 값 |
|---|---|---|
| 난수 u(I16) | =RAND() | |
| 추출값(J16) | =BETA.INV(I16, | |
| 셀 하나로 추출 | =BETA.INV(RAND(), | |
| 평균(K16) | =D16/(D16+F16) | 80.0% |
| P10 (L16) | =BETA.INV(0.1, | 63.2% |
| P90 (M16) | =BETA.INV(0.9, | 93.9% |
수치 확인: 이론값과 엑셀, xellstorm의 10,000개 추출값 비교
| 이론값 | 엑셀, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| 평균 | 80.0% | 79.9% | 80.0% |
| 표준편차 | 12.1% | 12.1% | 12.1% |
| P10 | 63.2% | 62.6% | 63.2% |
| P50(중앙값) | 82.0% | 81.9% | 82.0% |
| P90 | 93.9% | 93.8% | 93.9% |
엑셀은 RAND()로 완전히 무작위하게 뽑고, xellstorm은 추출값을 범위 전체에 고르게 퍼뜨립니다(라틴 하이퍼큐브 샘플링). 그래서 통계값이 이론값에 더 가깝게 나옵니다.
베타 분포를 쓰는 경우
- 비율과 비중: 전환율, 갱신률, 부도율, 시장 점유율, 수율, 예산 중 제때 쓴 비중.
- 한계가 있는 모든 값은 모양을 조절하고 싶을 때 그 구간으로 늘려서 씁니다. 최소, 최빈값, 최대가 있으면 PERT가 이 일을 대신해 줍니다.
xellstorm에서 베타 분포 입력하는 법
- 셀을 입력으로 만들고 분포 단계에서 베타 분포를 고릅니다. a와 b(알파와 베타)를 입력합니다. loc은 구간의 아래쪽 끝, scale은 구간의 폭이며, 비중이라면 0과 1입니다.
- 과거 비율이 있으면 사이드 패널의 “데이터로” 탭에서 0과 1 사이의 값에 베타 분포를 적합합니다. 다른 구간이라면 “구간을 아는 베타 분포” 아래에 구간을 입력하고 다시 적합합니다.
“엑셀 파일에서 가져오기”는 A, B가 있든 없든 =BETA.INV(RAND(), alpha, beta)를 베타 분포 입력으로 변환합니다. 애드인 모델은 RiskBeta, RiskBetaGeneral, VoseBeta, PsiBeta에서 변환합니다.
자주 묻는 질문
엑셀에서 베타 분포를 따르는 난수는 어떻게 만드나요?
=BETA.INV(RAND(), alpha, beta)를 씁니다. 평균이 80.0%인 비중이라면 =BETA.INV(RAND(), 8, 2)입니다. 다른 구간에서 뽑으려면 네 번째와 다섯 번째 인수로 아래쪽 한계와 위쪽 한계를 더합니다.
알파와 베타는 무엇을 뜻하나요?
둘의 비율이 중심을, 둘의 합이 확신의 정도를 정합니다. 평균은 α / (α + β)이고, α + β가 클수록 분포가 좁아집니다. α = β이면 50%를 중심으로 대칭이고, α = β = 1이면 0과 1 사이의 균등 분포입니다.
평균과 표준편차에서 알파와 베타는 어떻게 정하나요?
k = 평균 × (1 − 평균) / 표준편차² − 1을 계산한 뒤 α = 평균 × k, β = (1 − 평균) × k로 둡니다. 평균 0.8, 표준편차 0.1이면 k = 15, α = 12, β = 3입니다. 표준편차는 √(평균 × (1 − 평균))보다 작아야 하며, 그렇지 않으면 맞는 베타 분포가 없습니다.
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