Quanto uma camada de resseguro reduz os anos ruins?
Simule o ano sinistro a sinistro, aplique a camada a cada grande sinistro e compare as estruturas nos mesmos anos simulados. Nesta carteira patrimonial ilustrativa, 14,6% dos 10.000 anos fecham com prejuízo sem resseguro e, no ano de 1 em 100 (período de retorno de 100 anos), o resultado chega a −24.026. Com uma camada de 18.000 acima de uma retenção (prioridade) de 2.000 por sinistro, 8,0% fecham com prejuízo e o ano de 1 em 100 fica em −6.668. A camada custa 1.518 em um ano médio.
Muitos sinistros pequenos somam um total estável; são uns poucos grandes sinistros que fazem os anos ruins. O modelo sorteia os dois, aplica a camada a cada grande sinistro e compara, nos mesmos sinistros, a carteira sem camada e duas outras retenções. Os valores estão em milhares de US$.
O modelo
A aba Assumptions descreve a carteira: prêmio de 50.000, despesas de 30% do prêmio, as premissas de sinistros e a camada (nos gráficos, “18.000 xs 2.000”: 18.000 em excesso de 2.000), com a cotação do ressegurador para cada retenção. A aba Claims traz um ano: o total dos sinistros pequenos em B3, o número de grandes sinistros em B4 e uma linha para cada grande sinistro possível, nas linhas 7 a 21. O sinistro de uma linha ocorre quando o número da linha não passa da quantidade de grandes sinistros do ano: C7=IF(A7<=$B$4,1,0).
A coluna E é a parte do ressegurador em cada sinistro, o que fica acima da retenção até o limite superior da cobertura: E7=IF(Assumptions!$B$14=1,MIN(MAX(D7-Assumptions!$B$15,0),Assumptions!$B$16-Assumptions!$B$15),0). Na aba Result, o prêmio menos despesas e sinistros dá o resultado antes do resseguro (B7). Descontado o prêmio de resseguro e somadas as recuperações, chega-se ao resultado depois do resseguro (B10), e a meta verifica se ele fica abaixo de zero.
Sinistros pequenos como um total, grandes sinistros um a um
Claims!B3 é uma entrada de frequência × severidade (uma distribuição composta). Cada iteração sorteia o número de sinistros de uma Poisson com média 300 e, depois, o valor de cada um deles de uma lognormal com média 60 e desvio padrão 90, truncada no limiar de 1.000, e soma tudo. Com centenas de sinistros pequenos, as variações se compensam: o total fica entre 14.972 e 20.535 (P5–P95), em torno de uma média de 17.657.
Os grandes sinistros são poucos, e a camada se aplica a cada um, por isso cada um tem a sua célula. Claims!B4 é o número de grandes sinistros, sorteado de uma Poisson com média 4 e limitado a 15, o número de linhas da aba; com essa média, um ano com mais de 15 grandes sinistros seria mais raro que 1 em 10.000. Cada valor em B7:B21 segue uma distribuição de Pareto acima de 1.000 com parâmetro de forma 1,5, truncada na maior importância segurada, de 40.000, e por isso nenhum sinistro passa desse valor. Quanto menor a forma, mais pesada a cauda: a maioria dos grandes sinistros fica perto do limiar, e alguns são muito maiores.
Os anos com prejuízo antes do resseguro são anos de grandes sinistros. Neles, os grandes sinistros somam em média 25.210, contra 7.609 nos demais anos, enquanto o total dos sinistros pequenos quase não muda.
Como ler o resultado
Sem resseguro, o ano médio dá lucro de 7.166, e 61,1% dos anos se saem melhor do que isso; os demais se saem pior, alguns muito pior: 14,6% dos anos fecham com prejuízo e, no ano de 1 em 100, o resultado chega a −24.026. Com a camada, 8,0% fecham com prejuízo, o ano de 1 em 100 fica em −6.668 e o de 1 em 200, em −10.137. O ano de 1 em 100 é o resultado abaixo do qual fica só 1 em cada 100 anos simulados (o percentil 1); o ano de 1 em 200 é o percentil 0,5.
Quanto custa a camada
O ressegurador cota 5.150 pela camada acima de 2.000, e a camada recupera 3.632 em um ano médio. As cotações da planilha são cerca de 1,4 vez as recuperações esperadas: o prêmio de um ressegurador também cobre os custos dele, o capital que ele mantém e a margem. A diferença, 1.518, é o que a camada custa em um ano médio, e por isso o resultado médio cai de 7.166 para 5.647. Em troca, o resultado do ano de 1 em 100 melhora em 17.358.
Qual retenção escolher?
| Estrutura | Prêmio de resseguro | Recuperações esperadas | Resultado médio | Anos com prejuízo | Ano de 1 em 100 | Ano de 1 em 200 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Sem resseguro | 0 | 0 | 7.166 | 14,6% | −24.026 | −30.152 |
| Retenção 5.000 | 2.250 | 1.571 | 6.486 | 12,0% | −10.610 | −14.037 |
| Retenção 2.000 (base) | 5.150 | 3.632 | 5.647 | 8,0% | −6.668 | −10.137 |
| Retenção 1.000 | 8.400 | 5.974 | 4.740 | 5,2% | −5.537 | −9.254 |
Uma retenção mais baixa custa mais e protege mais, com ganhos decrescentes. Passar de nenhuma camada para uma retenção de 2.000 custa 1.518 por ano e melhora em 17.358 o resultado do ano de 1 em 100. Descer até uma retenção de 1.000 custa mais 908 por ano, por um ganho adicional de 1.131.
Entre os 1% piores anos com a camada base, a maioria (89% deles) tem um sinistro acima do limite superior da cobertura, de 20.000. A parte do sinistro acima desse limite volta para a seguradora, e uma retenção mais baixa não chega até ela; um limite superior mais alto chegaria, a um preço que não foi cotado aqui. Só 2,8% de todos os anos têm um sinistro assim, e é por isso que um limite superior pode parecer suficiente até que se simule a cauda.
Todas as estruturas enfrentam os mesmos sinistros simulados, então as diferenças vêm da camada, não de sorteios mais favoráveis.
O que uma camada por sinistro não cobre
A camada paga por sinistro. Um vendaval que danifica centenas de imóveis de uma vez gera centenas de sinistros, cada um abaixo da retenção, e uma camada por sinistro não paga nenhum deles. Para isso é preciso uma cobertura catastrófica (por evento). Este modelo não tem eventos catastróficos, reintegrações, inflação de sinistros nem resultado financeiro; as premissas de sinistros são ilustrativas, não um ajuste ao histórico de uma carteira.
Experimente
- Abra o exemplo e rode as 10.000 iterações com a semente 1. O resultado depois do resseguro e a meta dele, um ano abaixo de zero, já vêm definidos.
- Leia o histograma e os percentis do resultado e depois compare-o com o resultado antes do resseguro,
Result!B7. - Rode os três cenários salvos e compare os anos com prejuízo e os percentis baixos de cada um com os da camada base.
- Para a sua carteira, ajuste o número e o valor dos sinistros ao histórico de sinistros e acrescente eventos catastróficos se um único vendaval puder atingir muitos riscos ao mesmo tempo.
Perguntas
Por que não usar a sinistralidade média?
O ano médio diz quanto a carteira ganha, não com que frequência nem quanto ela perde. Grandes sinistros são raros e irregulares, então a maioria dos anos se sai melhor que a média e alguns se saem muito pior. Simular muitos anos mostra esses poucos anos e o que uma camada faz com eles.
Por que o ressegurador cobra mais do que espera pagar?
O prêmio dele também cobre as despesas, o capital que ele mantém para os anos ruins e uma margem. Uma camada vale o que custa quando, para a seguradora, os anos ruins que ela elimina pesam mais do que o resultado médio de que se abre mão; a simulação põe as duas coisas na mesma unidade.
O ano de 1 em 200 é uma exigência de capital?
Não. Um modelo de capital de solvência também cobre provisões técnicas, catástrofes, riscos de mercado, de crédito e operacional, e o momento em que os sinistros são pagos. Este resultado técnico de um ano é só uma parte desse quadro.
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P50, P80 e P90: o que significam e em qual nível orçar
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Quanta contingência um registro de riscos precisa?
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Simulação de Monte Carlo no Excel, com ou sem suplemento
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