Loi de Poisson dans Excel : compter des événements, et quand préférer la loi binomiale négative

Guide · Mis à jour en octobre 2026

En bref : combien de fois quelque chose se produit en une semaine, un mois ou un an, quand les événements arrivent un par un à un rythme moyen connu.

La loi de Poisson donne le nombre d’événements dans une période fixe, comme les réclamations d’une semaine ou les pannes d’un mois, quand ils surviennent indépendamment à un rythme moyen connu. Un seul nombre la définit, la moyenne. Avec 4 réclamations par semaine en moyenne, une semaine sans aucune a 1,8 % de probabilité, et une semaine à 8 ou plus 5,1 %. Excel a POISSON.DIST mais pas de fonction inverse ; les comptages aléatoires viennent d’un petit tableau de probabilités cumulées. Quand les comptages varient davantage que ne le permet une loi de Poisson, utilisez la loi binomiale négative.

Ce qu’est une loi de Poisson

Imaginez des événements qui arrivent au hasard, un par un, à un rythme moyen constant : appels, défauts, sinistres, pannes d’un grand parc d’équipements. Le nombre qui tombe dans une semaine est un entier, 0, 1, 2 et ainsi de suite, et sa loi ne dépend que du nombre moyen. Ce nombre moyen fixe aussi l’irrégularité d’une semaine à l’autre : l’écart type est la racine carrée de la moyenne, soit 2 pour 4 réclamations par semaine. Le temps entre deux de ces événements suit une loi exponentielle : ici 1,75 jour en moyenne.

Comment lire le graphique : chaque barre est la part des 10 000 semaines simulées comptant ce nombre de réclamations, et chaque point la probabilité exacte. Barres et points concordent.

Les semaines les plus probables comptent 3 ou 4 réclamations (19,5 % chacune). Le P10 est 2 et le P90 7 : au moins huit semaines sur dix se situent entre les deux.

La loi de Poisson dans Excel

POISSON.DIST(k, mean, FALSE) donne la probabilité d’avoir exactement k événements et, avec TRUE, celle d’en avoir au plus k : =1-POISSON.DIST(7, 4, TRUE) est la probabilité de 5,1 % d’en avoir 8 ou plus. Il n’y a pas de POISSON.INV : un comptage aléatoire demande donc une étape de plus. Le fichier Excel liste les probabilités cumulées de 0 à 99 événements sur sa feuille Tables et compte combien d’entre elles sont inférieures au nombre aléatoire u : ce compte est le plus petit k dont la probabilité cumulée atteint u, c’est-à-dire exactement un tirage de Poisson. En une seule cellule : =COUNTIF(Tables!B$3:B$102,"<"&RAND()).

Loi binomiale négative : quand les comptages varient plus que ne le permet une loi de Poisson

Les comptages réels sont souvent plus irréguliers que ceux d’une loi de Poisson : la demande a des mois chargés et des mois calmes, les défauts arrivent par lots, les sinistres augmentent par mauvais temps. Examinez l’historique : si les comptages varient bien plus que ne le permet une loi de Poisson (leur variance, qui est l’écart type au carré, dépasse nettement leur moyenne), une loi de Poisson sous-estime à la fois les périodes calmes et les périodes chargées. La loi binomiale négative ajoute un second paramètre pour cet écart supplémentaire. Avec la même moyenne de 4 mais une variance de 8 :

Comment lire le graphique : chaque ligne relie les probabilités de 0, 1, 2 événements et plus en une semaine. La loi binomiale négative est plus haute aux deux bouts : davantage de semaines sans événement et davantage de semaines très chargées.

Dans Excel, NEGBINOM.DIST(k, n, p, TRUE) (LOI.BINOMIALE.NEG.N dans Excel en français) donne ses probabilités cumulées, et la même astuce du tableau donne des tirages : =COUNTIF(Tables!C$3:C$102,"<"&RAND()). Ses paramètres sont n et p (le nombre d’échecs avant le n-ième succès, dans la lecture des manuels). À partir d’une moyenne et d’une variance : p = moyenne / variance et n = moyenne² / (variance − moyenne), soit ici p = 0,5 et n = 4. L’exemple du point de commande tire pour cette raison sa demande mensuelle dans une loi binomiale négative.

Quand utiliser la loi de Poisson, la binomiale négative ou la binomiale

• Poisson pour les comptages d’événements indépendants à rythme constant, sans plafond en pratique : arrivées, appels, défauts, défaillances d’une grande population.
• Binomiale négative pour le même genre de comptage quand l’historique varie davantage que sa moyenne : demande, sinistres, défauts qui se regroupent.
• Binomiale quand le nombre d’occasions est fixé : unités défectueuses dans un lot de 50, clients qui acceptent une offre sur 200.

Saisir une loi de Poisson dans xellstorm

1. Faites de la cellule une entrée puis, à l’étape Distributions, choisissez Poisson et saisissez sa moyenne ; ou choisissez Binomiale négative et saisissez n et p.
2. Avec des comptages passés, sélectionnez l’entrée et utilisez « À partir de données » dans le panneau latéral : pour des nombres entiers, il ajuste les lois de Poisson et binomiale négative en plus des formes continues, et les classe. Quand les comptages ne varient pas plus que leur moyenne, il écarte la binomiale négative et indique d’utiliser une loi de Poisson.

Les modèles de compléments se convertissent depuis RiskPoisson, VosePoisson et PsiPoisson, ainsi que depuis RiskNegbin, VoseNegBin et PsiNegBinomial.

Questions fréquentes

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