Analyse de cumul de tolérances : pire cas, somme quadratique ou Monte-Carlo ?

Exemple traité · Cumul de tolérances · Mis à jour en octobre 2026

Dans cet exemple, additionner les six tolérances (pire cas) laisse le jeu descendre à 0,120 mm, mais la RSS prévoit que seuls 3,29 % des assemblages restent sous les 0,4 mm requis, et une simulation de Monte-Carlo de 20 000 assemblages en trouve 3,21 %. Le pire cas dit si chaque assemblage est garanti de convenir ; la RSS et Monte-Carlo disent à quelle fréquence l’un ne conviendra pas.

L’exemple est un boîtier de 100,00 ± 0,10 mm contenant cinq pièces avec un jeu nominal de 0,500 mm. En prenant chaque tolérance pour trois écarts types, la somme quadratique (RSS) donne au jeu un écart type de 0,0544 mm. Sous les mêmes hypothèses normales, un jeu aussi petit que le pire cas surviendrait environ une fois sur 730 milliards assemblages : en pratique, jamais.

Le modèle

Le fichier est un tableau de tolérances d’une seule feuille, nommée Stack : un boîtier et cinq pièces empilées bout à bout à l’intérieur, chacune avec une cote nominale (colonne B, en mm) et une tolérance ± (colonne C). La colonne D, Actual (réelle), contient chaque cote telle que fabriquée ; dans le fichier enregistré, elle est égale à la valeur nominale. Le jeu en D9 est le boîtier moins les pièces, =D2-SUM(D3:D7), et D10 calcule de la même façon le jeu nominal à partir de la colonne B. Aucune fonction de complément n’est utilisée.

Pour la simulation, chaque cellule Actual (D2 à D7) suit une distribution normale dont la moyenne est la valeur nominale et l’écart type le tiers de sa tolérance. La tolérance est prise égale à trois écarts types (3σ), de sorte que 99,73 % des pièces sont dans la tolérance. L’objectif compte un jeu inférieur à 0,4 mm comme un défaut : voyez-y le jeu minimal dont l’assemblage a besoin, par exemple pour laisser de la place à la dilatation thermique.

Les distributions et l’objectif viennent avec l’exemple quand vous l’ouvrez dans xellstorm. Le fichier à télécharger ne contient que les cotes, les tolérances et les formules, comme un tableau de tolérances ordinaire. Les écarts types sont saisis dans la configuration de la simulation et non liés à la colonne C ; si vous modifiez une tolérance dans le fichier, modifiez aussi son écart type.

Pire cas : additionner les tolérances

Un cumul au pire cas (arithmétique) suppose que chaque cote se trouve en même temps à sa limite la moins favorable : le boîtier à son minimum, 99,90 mm, et chaque pièce à son maximum. La tolérance du jeu est alors la somme des six tolérances, ±0,38 mm, de sorte que le jeu se situe quelque part entre 0,120 et 0,880 mm.

C’est une garantie : aucun assemblage construit avec des pièces dans la tolérance ne peut sortir de cette plage. Mais face au minimum de 0,4 mm, la conception ne passe pas sur le papier. Pour passer, les tolérances devraient totaliser au plus les 0,100 mm qui séparent le jeu nominal du minimum ; les réduire toutes dans la même proportion revient à les ramener chacune à 26 % de sa valeur. Ce que le pire cas ne peut pas dire, c’est à quelle fréquence le jeu est réellement insuffisant.

RSS : somme quadratique

Quand les cotes varient indépendamment, ce sont leurs variances qui s’additionnent, pas leurs tolérances. Avec chaque écart type au tiers de sa tolérance, l’écart type du jeu est la racine carrée de la somme des six variances : 0,0544 mm. De façon équivalente, la tolérance RSS, racine carrée de la somme des carrés des tolérances, est de ±0,163 mm, soit trois écarts types du jeu : 99,73 % des jeux se situent entre 0,337 et 0,663 mm. Lue comme un intervalle ±, la RSS fait elle aussi échouer la conception, puisque 0,337 mm est inférieur au minimum.

La RSS donne aussi un taux. Une somme de cotes normales indépendantes est elle-même normale, centrée sur le jeu nominal de 0,500 mm ; la probabilité d’un jeu inférieur à 0,4 mm découle donc exactement de la distribution normale. Le minimum se situe 1,84 écarts types sous le jeu nominal, et 3,29 % d’une distribution normale se trouve au-delà. Dans le fichier, Excel donne le même nombre avec =NORM.DIST(0.4, D10, SQRT(SUMSQ(C2:C7))/3, TRUE).

Ce taux repose sur des hypothèses : les cotes sont indépendantes, normales et centrées sur leur valeur nominale, chaque tolérance vaut trois écarts types, et le jeu est une simple somme.

Monte-Carlo : construire l’assemblage 20 000 fois

Une simulation de Monte-Carlo construit l’assemblage encore et encore : à chaque itération, elle tire les six cotes dans leurs distributions, recalcule le fichier et enregistre le jeu. Sur 20 000 jeux simulés, 641 (3,21 %) sont inférieurs à 0,4 mm, contre 3,29 % en valeur exacte. La différence est du bruit d’échantillonnage : avec 20 000 itérations, une part proche de 3,29 % est connue à environ ±0,13 point de pourcentage près. C’est une erreur type de l’échantillonnage aléatoire simple ; l’échantillonnage par hypercube latin, utilisé par défaut, tire chaque cote une fois dans chacune de 20 000 tranches équiprobables de sa distribution et fait en général un peu mieux, et jamais moins bien quand le résultat évolue dans un seul sens avec chaque entrée, comme ici. La moyenne et l’écart type simulés concordent aussi avec les valeurs RSS.

À quel point le pire cas est-il prudent ?

Très. Pour que le jeu atteigne 0,120 mm, les cotes doivent ensemble tomber 0,38 mm du côté défavorable, ce qui, avec chaque pièce dans la tolérance, exige que les six soient à leur limite en même temps. Sous les mêmes hypothèses de normalité, un jeu aussi petit se situe 6,99 écarts types sous le jeu nominal, et sa probabilité est de 1,4 × 10⁻¹² : environ un assemblage sur 730 milliards. Peu de procédés réels suivent une distribution normale aussi loin dans les queues de distribution, et le contrôle écarte les pièces hors tolérance ; lisez donc cela seulement comme « pratiquement jamais ». La simulation dit la même chose à sa manière : le plus petit de ses 20 000 jeux est de 0,287 mm.

La garantie a un prix. Pour respecter 0,4 mm au pire cas, les tolérances réduites dans la même proportion doivent descendre à 26 % de leur valeur ; en RSS à 3σ, à 61 %, ce qui laisse encore 0,135 % des jeux sous le minimum. Des tolérances plus serrées coûtent plus cher à usiner et à contrôler. Savoir si 3,29 % d’assemblages sous 0,4 mm est acceptable, ou s’il vaut la peine de payer pour le réduire, relève d’une décision de conception ; l’analyse statistique montre ce que vous mettez dans la balance.

Quelle tolérance resserrer en premier

Dans un cumul linéaire où chaque tolérance vaut 3σ, la part de chaque cote dans la variance du jeu est sa tolérance au carré divisée par la somme des carrés des tolérances. Le boîtier (±0,10 mm) en représente 37,6 %, Pièce 5 (±0,08 mm) 24,1 %, et Pièce 3 (±0,04 mm) seulement 6,0 %. Comme les tolérances entrent au carré, les plus grandes dominent. Par la formule RSS, diviser par deux la tolérance du boîtier, à ±0,05 mm, fait passer la part des jeux inférieurs à 0,4 mm de 3,29 % à 1,50 %, alors que diviser par deux celle de Pièce 3, à ±0,02 mm, ne la ramène qu’à 2,99 %.

Le tableau de contribution à la variance de l’application estime les mêmes parts à partir des rangs des itérations simulées : 38,0 % pour le boîtier, contre 37,6 % en valeur exacte. Dans les modèles sans formule pour ces parts, ce tableau et le diagramme en tornade permettent de trouver la cote à resserrer ; voir diagrammes en tornade et analyse de sensibilité.

Quand la simulation de Monte-Carlo vaut la peine

La RSS et la simulation de Monte-Carlo concordent ici parce que l’exemple remplit toutes les hypothèses de la RSS. La plus déterminante est que chaque tolérance vaut trois écarts types d’une distribution normale. Supposons au contraire que les cotes se répartissent uniformément dans leur bande de tolérance, par exemple parce qu’un outil de coupe s’use régulièrement au fil d’un lot. Chaque cote est alors uniforme, d’écart type égal à sa tolérance divisée par √3, soit 1,73 fois celui de la distribution normale.

Exécutée comme un scénario sur les mêmes tirages aléatoires, avec chaque cote uniforme entre nominale − tolérance et nominale + tolérance, la simulation donne 14,99 % de jeux inférieurs à 0,4 mm, contre 3,21 % auparavant. La valeur exacte pour des cotes uniformes, obtenue à partir de la distribution d’une somme de variables uniformes, est 15,03 %. La RSS avec les écarts types uniformes (0,0942 mm pour le jeu) donne 14,41 % : proche, mais trop basse, parce qu’elle traite encore le jeu comme normal, et six cotes, dont l’une porte 37,6 % de la variance, ne le rendent pas tout à fait normal. Le pire cas ne bouge pas du tout : il ignore la façon dont les cotes sont distribuées.

Ainsi, pour une simple somme de cotes indépendantes, la RSS avec les bons écarts types donne un résultat proche. La simulation de Monte-Carlo se justifie quand le cumul est moins simple : un jeu qui dépend d’angles ou de rayons, ou d’un MAX ou d’un IF dans la formule ; des distributions asymétriques ou coupées par le contrôle ; des cotes qui varient ensemble ; ou un modèle déjà construit dans un tableur. xellstorm recalcule le fichier à chaque itération : le jeu est donc ce que les formules du fichier font des cotes, et non une somme réécrite pour l’analyse.

Essayez vous-même

1. Ouvrez le modèle dans xellstorm. Les six cotes sont des entrées, le jeu en D9 est la sortie et un jeu inférieur à 0,4 mm est l’objectif ; rien à installer et aucune inscription, et le fichier est calculé dans votre navigateur.
2. Lancez la simulation : avec la même graine et 20 000 itérations, vous obtenez les nombres de cette page (l’application arrondit les parts à une décimale, par exemple 3,2 %). Les résultats affichent le jeu moyen, la probabilité d’un jeu inférieur à 0,4 mm et le P10, 0,430 mm, que 90 % des assemblages dépassent ; le tableau des centiles descend jusqu’à P1.
3. Saisissez un autre minimum dans la zone de probabilité, comme la limite RSS de 0,337 mm, ou survolez la courbe en S pour lire la probabilité d’un jeu inférieur à n’importe quelle valeur.
4. À l’étape Distributions, ajoutez un scénario nommé « Uniforme dans la tolérance », changez la distribution de chaque cote en Uniform avec un min à nominale − tolérance et un max à nominale + tolérance (pour le boîtier, 99,90 et 100,10), puis relancez : le tableau des scénarios le compare au cas de référence sur les mêmes tirages aléatoires. Un deuxième scénario peut diviser par deux l’écart type (sd) du boîtier, de 0,0333 à 0,0167, pour voir ce que rapporte une tolérance de boîtier plus serrée.
5. Ouvrez ensuite votre propre tableau de tolérances, faites de chaque cote une entrée normale avec sd = tolérance / 3 (ou la dispersion que montrent les données de votre procédé), et choisissez le jeu comme sortie.

Puis-je le faire avec Excel seul ?

Oui. Le taux RSS est la formule NORM.DIST ci-dessus. Pour une simulation de Monte-Carlo, remplacez chaque valeur Actual par une formule telle que =NORM.INV(RAND(), B2, C2/3), répétez le calcul quelques milliers de fois avec une table de données et comptez les jeux inférieurs à 0,4 mm avec COUNTIF. La simulation de Monte-Carlo dans Excel montre comment, et ce qui change quand un outil exécute le fichier à votre place.

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