Toleranzkettenrechnung: Worst Case, RSS oder Monte-Carlo-Simulation?

Praxisbeispiel · Toleranzkettenrechnung · Stand: Oktober 2026

In diesem Beispiel lässt das Aufsummieren aller sechs Toleranzen (Worst Case) das Spiel auf 0,120 mm schrumpfen, doch RSS sagt voraus, dass nur 3,29 % der Baugruppen das geforderte Spiel von 0,4 mm unterschreiten, und eine Monte-Carlo-Simulation mit 20.000 Baugruppen ergibt 3,21 %. Der Worst Case sagt, ob jede Baugruppe garantiert passt; RSS und Monte-Carlo-Simulation sagen, wie oft eine nicht passt.

Im Beispiel nimmt ein Gehäuse von 100,00 ± 0,10 mm fünf Teile auf, das Nennspiel beträgt 0,500 mm. Setzt man jede Toleranz als drei Standardabweichungen an, ergibt die quadratische Addition (RSS, Wurzel aus der Summe der Quadrate) für das Spiel eine Standardabweichung von 0,0544 mm. Unter denselben Normalverteilungsannahmen käme ein Spiel, das so klein ist wie im Worst Case, bei etwa einer von 730 Milliarden Baugruppen vor: praktisch nie.

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Das Modell

Die Datei ist eine Toleranzkettentabelle auf einem Tabellenblatt namens „Stack“: ein Gehäuse und fünf Teile, die darin Ende an Ende gestapelt sind, jeweils mit einem Nennmaß (Spalte B, in mm) und einer ±-Toleranz (Spalte C). Spalte D, „Actual“, enthält jedes Maß, wie es gefertigt wurde (Ist-Maß); in der gespeicherten Datei entspricht es dem Nennmaß. Das Spiel in D9 ist das Gehäuse minus die Teile, =D2-SUM(D3:D7), und D10 berechnet das Nennspiel auf dieselbe Weise aus Spalte B. Add-In-Funktionen kommen nicht vor.

Für die Simulation ist jede Actual-Zelle (D2 bis D7) eine Normalverteilung mit ihrem Nennmaß als Mittelwert und einem Drittel ihrer Toleranz als Standardabweichung. Die Toleranz gilt als drei Standardabweichungen (3σ), sodass 99,73 % der Teile innerhalb der Toleranz liegen. Das Ziel wertet ein Spiel unter 0,4 mm als Ausfall: Man kann es sich als das Mindestspiel vorstellen, das die Baugruppe braucht, etwa damit Platz für Wärmeausdehnung bleibt.

Die Verteilungen und das Ziel sind Teil des Beispiels, sobald Sie es in xellstorm öffnen. In der Datei zum Download stehen nur die Maße, die Toleranzen und die Formeln, wie in einer gewöhnlichen Toleranzkettentabelle. Die Standardabweichungen sind in den Einstellungen der Simulation eingetragen und nicht mit Spalte C verknüpft; ändern Sie also eine Toleranz in der Datei, ändern Sie auch ihre Standardabweichung.

Die Toleranzkette, mm (jedes Maß normalverteilt, Toleranz = 3 Standardabweichungen)
Maß	Nennmaß	Toleranz	Stdabw.
Gehäuse	100,00	±0,10	0,0333
Teil 1	19,80	±0,05	0,0167
Teil 2	24,60	±0,06	0,0200
Teil 3	15,30	±0,04	0,0133
Teil 4	20,10	±0,05	0,0167
Teil 5	19,70	±0,08	0,0267

Worst Case: die Toleranzen addieren

Eine Worst-Case-Rechnung (arithmetische Toleranzkette) nimmt an, dass jedes Maß gleichzeitig an seiner ungünstigsten Grenze liegt: das Gehäuse am kleinsten, 99,90 mm, und jedes Teil am größten. Die Toleranz des Spiels ist dann die Summe der sechs Toleranzen, ±0,38 mm, sodass das Spiel irgendwo zwischen 0,120 und 0,880 mm liegt.

Das ist eine Garantie: Keine Baugruppe aus Teilen innerhalb der Toleranz kann außerhalb davon liegen. Gegenüber dem Mindestwert von 0,4 mm fällt die Konstruktion auf dem Papier allerdings durch. Damit sie besteht, dürften sich die Toleranzen höchstens auf die 0,100 mm zwischen Nennspiel und Mindestwert addieren; verkleinert man alle im gleichen Verhältnis, sinkt jede auf 26 % ihres Werts. Nicht beantworten kann der Worst Case, wie oft das Spiel tatsächlich zu klein ausfällt.

RSS: Wurzel aus der Summe der Quadrate

Wenn Maße unabhängig streuen, addieren sich ihre Varianzen, nicht ihre Toleranzen. Liegt jede Standardabweichung bei einem Drittel ihrer Toleranz, ist die Standardabweichung des Spiels die Wurzel aus der Summe der sechs Varianzen: 0,0544 mm. Gleichwertig dazu beträgt die RSS-Toleranz, die Wurzel aus der Summe der quadrierten Toleranzen, ±0,163 mm, drei Standardabweichungen des Spiels: 99,73 % der Spiele liegen zwischen 0,337 und 0,663 mm. Als ±-Bereich gelesen, lässt RSS die Konstruktion ebenfalls durchfallen, denn 0,337 mm liegt unter dem Mindestwert.

RSS kann aber auch eine Rate liefern. Eine Summe unabhängiger normalverteilter Maße ist selbst normalverteilt, zentriert auf das Nennspiel von 0,500 mm; die Wahrscheinlichkeit eines Spiels unter 0,4 mm folgt daher exakt aus der Normalverteilung. Der Mindestwert liegt 1,84 Standardabweichungen unter dem Nennspiel, und 3,29 % einer Normalverteilung liegen weiter außen. In der Datei liefert Excel dieselbe Zahl mit =NORM.DIST(0.4, D10, SQRT(SUMSQ(C2:C7))/3, TRUE).

Diese Rate beruht auf Annahmen: Die Maße sind unabhängig, normalverteilt und auf ihre Nennmaße zentriert, jede Toleranz entspricht drei Standardabweichungen, und das Spiel ist eine einfache Summe.

Monte-Carlo: die Baugruppe 20.000-mal fertigen

Eine Monte-Carlo-Simulation fertigt die Baugruppe immer wieder: Jede Iteration zieht die sechs Maße aus ihren Verteilungen, berechnet die Datei neu und hält das Spiel fest. Von 20.000 simulierten Spielen liegen 641 (3,21 %) unter 0,4 mm, gegenüber den exakten 3,29 %. Der Unterschied ist Stichprobenrauschen: Bei 20.000 Iterationen ist ein Anteil nahe 3,29 % um etwa ±0,13 Prozentpunkte unsicher. Das ist ein Standardfehler einfacher Zufallsstichproben. Latin-Hypercube-Sampling, die Standardeinstellung, zieht jedes Maß einmal aus jedem von 20.000 gleich wahrscheinlichen Abschnitten seiner Verteilung und schneidet meist etwas besser ab, nie schlechter, wenn sich das Ergebnis mit jeder Eingangsgröße nur in eine Richtung bewegt, wie hier. Auch der simulierte Mittelwert und die Standardabweichung stimmen mit den RSS-Werten überein.

Das Spiel in mm: RSS-Formel (exakt) und 20.000 simulierte Baugruppen
	RSS, exakt	Simuliert
Mittleres Spiel	0,5000	0,5000
Standardabweichung	0,0544	0,0543
Spiel unter 0,4 mm (das Ziel)	3,29 %	3,21 %
Spiel unter 0,337 mm (RSS-Grenze, 3σ)	0,135 %	0,105 %
Spiel unter 0,120 mm (Worst-Case-Grenze)	1,4 × 10⁻¹²	keines von 20.000

Spiel in mm. Jeder Balken zählt simulierte Baugruppen; Balken unter 0,4 mm sind hervorgehoben. Die gepunkteten Linien sind die Worst-Case-Grenzen: Das kleinste der 20.000 simulierten Spiele beträgt 0,287 mm.

Wie konservativ ist der Worst Case?

Drei Antworten für dieselbe Toleranzkette (Spiel in mm)
Verfahren	Spielbereich	Unter 0,4 mm
Worst Case: Toleranzen addieren	0,120–⁠0,880	kann vorkommen (keine Rate)
RSS: Wurzel aus der Summe der Quadrate, ±3σ	0,337–⁠0,663	3,29 %
Monte-Carlo: alle 20.000 Iterationen	0,287–⁠0,719	3,21 %

Sehr. Damit das Spiel 0,120 mm erreicht, müssen die Maße zusammen 0,38 mm auf der ungünstigen Seite liegen, was bei Teilen innerhalb der Toleranz bedeutet: alle sechs gleichzeitig an ihren Grenzen. Bei denselben Normalverteilungsannahmen liegt ein so kleines Spiel 6,99 Standardabweichungen unter dem Nennspiel, und seine Wahrscheinlichkeit beträgt 1,4 × 10⁻¹²: etwa eine von 730 Milliarden Baugruppen. Nur wenige reale Prozesse folgen einer Normalverteilung so weit draußen am Ende der Verteilung, und die Prüfung sortiert Teile außerhalb der Toleranz aus; lesen Sie das also nur als „praktisch nie“. Die Simulation sagt dasselbe auf ihre Weise: Das kleinste ihrer 20.000 Spiele beträgt 0,287 mm.

Die Garantie hat ihren Preis. Um 0,4 mm im Worst Case einzuhalten, müssen proportional verkleinerte Toleranzen auf 26 % ihrer Werte sinken; bei RSS mit 3σ auf 61 %, was immer noch 0,135 % der Spiele unter dem Mindestwert lässt. Engere Toleranzen kosten mehr in der Fertigung und in der Prüfung. Ob 3,29 % der Baugruppen unter 0,4 mm hinnehmbar sind oder ob es sich lohnt, den Anteil mit Aufwand zu senken, ist eine Konstruktionsentscheidung; die statistische Antwort zeigt, zwischen welchen Möglichkeiten Sie wählen.

Welche Toleranz Sie zuerst verengen

In einer linearen Toleranzkette mit lauter 3σ-Toleranzen ergibt sich der Anteil eines Maßes an der Varianz des Spiels aus seiner quadrierten Toleranz geteilt durch die Summe der quadrierten Toleranzen. Die ±0,10 mm des Gehäuses machen 37,6 % aus, die ±0,08 mm von Teil 5 24,1 %, und die ±0,04 mm von Teil 3 nur 6,0 %. Weil Toleranzen quadratisch eingehen, dominieren die größten. Nach der RSS-Formel senkt das Halbieren der Gehäusetoleranz auf ±0,05 mm den Anteil der Spiele unter 0,4 mm von 3,29 % auf 1,50 %, während das Halbieren der Toleranz von Teil 3 auf ±0,02 mm ihn nur auf 2,99 % bringt.

Anteil jedes Maßes an der Varianz des Spiels
Maß	Toleranz, mm	Exakter Anteil	App (simuliert)
Gehäuse	±0,10	37,6 %	38,0 %
Teil 5	±0,08	24,1 %	24,0 %
Teil 2	±0,06	13,5 %	13,6 %
Teil 1	±0,05	9,4 %	9,4 %
Teil 4	±0,05	9,4 %	9,3 %
Teil 3	±0,04	6,0 %	5,8 %

Die Tabelle des Varianzbeitrags in der App schätzt dieselben Anteile aus den Rängen der simulierten Iterationen: 38,0 % für das Gehäuse, gegenüber den exakten 37,6 %. Wo es keine Formel für die Anteile gibt, finden Sie mit dieser Tabelle und dem Tornado-Diagramm das Maß, dessen Toleranz Sie verengen sollten; siehe Tornado-Diagramme und Sensitivitätsanalyse.

Wann sich Monte-Carlo lohnt

RSS und Monte-Carlo stimmen hier überein, weil das Beispiel jede RSS-Annahme erfüllt. Die wichtigste ist, dass jede Toleranz drei Standardabweichungen einer Normalverteilung entspricht. Angenommen, die Maße verteilen sich stattdessen gleichmäßig über ihre Toleranzbänder, etwa weil ein Schneidwerkzeug im Verlauf einer Charge gleichmäßig verschleißt. Jedes Maß ist dann gleichverteilt, mit einer Standardabweichung von Toleranz geteilt durch √3, also dem 1,73-Fachen der normalverteilten.

Als Szenario auf denselben Zufallszahlen gerechnet, mit jedem Maß gleichverteilt zwischen Nennmaß − Toleranz und Nennmaß + Toleranz, ergibt die Simulation 14,99 % der Spiele unter 0,4 mm, gegenüber 3,21 % zuvor. Die exakte Lösung für gleichverteilte Maße, aus der Verteilung einer Summe von Gleichverteilungen, ist 15,03 %. RSS mit den Standardabweichungen der Gleichverteilung (0,0942 mm für das Spiel) ergibt 14,41 %: nah dran, aber zu niedrig, weil es das Spiel weiterhin als normalverteilt behandelt und sechs Maße, von denen eines 37,6 % der Varianz trägt, es nicht ganz normalverteilt machen. Der Worst Case bewegt sich überhaupt nicht: Er ignoriert, wie die Maße verteilt sind.

Für eine einfache Summe unabhängiger Maße kommt RSS mit den richtigen Standardabweichungen also nahe heran. Monte-Carlo zahlt sich aus, wenn die Toleranzkette nicht so einfach ist: ein Spiel, das von Winkeln oder Radien abhängt oder von einem MAX oder IF in der Formel; Verteilungen, die schief oder durch die Prüfung abgeschnitten sind; Maße, die gemeinsam schwanken; oder ein Modell, das schon in einer Excel-Tabelle steckt. xellstorm berechnet die Datei in jeder Iteration neu, das Spiel ist also das, was die Formeln der Datei aus den Maßen machen, und nicht eine für die Analyse umgeschriebene Summe.

Selbst ausprobieren

Öffnen Sie das Modell in xellstorm. Die sechs Maße sind Eingangsgrößen, das Spiel in D9 ist die Ausgangsgröße, und ein Spiel unter 0,4 mm ist das Ziel; es gibt nichts zu installieren und keine Registrierung, und die Datei wird im Browser berechnet.
Starten Sie den Lauf: Mit demselben Seed und 20.000 Iterationen erhalten Sie die Zahlen dieser Seite (die App rundet Anteile auf eine Dezimalstelle, zum Beispiel 3,2 %). Die Ergebnisse zeigen das mittlere Spiel, die Wahrscheinlichkeit eines Spiels unter 0,4 mm und den P10, 0,430 mm, den 90 % der Baugruppen überschreiten; die Perzentiltabelle reicht bis P1.
Geben Sie in das Wahrscheinlichkeitsfeld einen anderen Mindestwert ein, etwa die RSS-Grenze von 0,337 mm, oder fahren Sie mit der Maus über die Summenkurve (S-Kurve), um die Wahrscheinlichkeit eines Spiels unter einem beliebigen Wert abzulesen.
Fügen Sie im Schritt „Distributions“ (Verteilungen) ein Szenario namens „Uniform within tolerance“ hinzu, ändern Sie die Verteilung jedes Maßes auf Uniform mit min bei Nennmaß − Toleranz und max bei Nennmaß + Toleranz (beim Gehäuse 99,90 und 100,10) und starten Sie den Lauf erneut: Die Szenariotabelle vergleicht es mit dem Basisfall auf denselben Zufallszahlen. Ein zweites Szenario kann die sd des Gehäuses von 0,0333 auf 0,0167 halbieren, um zu sehen, was eine engere Gehäusetoleranz bringt.
Öffnen Sie dann die eigene Toleranzkettentabelle, machen Sie jedes Maß zu einer normalverteilten Eingangsgröße mit sd = Toleranz / 3 (oder der Streuung, die Ihre Prozessdaten zeigen), und wählen Sie das Spiel als Ausgangsgröße.

Geht das auch in reinem Excel?

Ja. Die RSS-Rate ist die einzelne NORM.DIST-Formel von oben. Für eine Monte-Carlo-Simulation ersetzen Sie jeden Actual-Wert durch eine Formel wie =NORM.INV(RAND(), B2, C2/3), wiederholen die Berechnung einige tausend Mal mit einer Datentabelle und zählen die Spiele unter 0,4 mm mit COUNTIF. Monte-Carlo-Simulation in Excel zeigt, wie das geht und was sich ändert, wenn ein Werkzeug die Datei für Sie ausführt.

Häufige Fragen

Was ist eine Toleranzkettenrechnung?

Eine Toleranzkettenrechnung ermittelt, wie sich die Toleranzen mehrerer Teile in einem Maß verbinden, das von allen abhängt, etwa im Spiel zwischen einem Gehäuse und den darin liegenden Teilen. Die drei gängigen Verfahren sind der Worst Case (die Toleranzen addieren), RSS (sie als unabhängige zufällige Abweichungen kombinieren) und die Monte-Carlo-Simulation (die Baugruppe vielfach aus zufälligen Maßen fertigen).

Worin unterscheiden sich Worst-Case- und RSS-Toleranzanalyse?

Die Worst-Case-Toleranzanalyse addiert die Toleranzen; sie deckt damit jede Kombination von Teilen innerhalb der Toleranz ab, nimmt aber an, dass alle zugleich an ihren Grenzen liegen. RSS (Wurzel aus der Summe der Quadrate) zieht die Wurzel aus der Summe der quadrierten Toleranzen: Es behandelt die Abweichungen als unabhängig und zufällig und liefert den Bereich, der 99,73 % der Baugruppen enthält, wenn jede Toleranz drei Standardabweichungen entspricht. Für diese Toleranzkette ergibt der Worst Case ±0,38 mm und RSS ±0,163 mm.

Warum eine Toleranz als drei Standardabweichungen ansetzen?

Eine Toleranz als drei Standardabweichungen (3σ) anzusetzen beschreibt einen zentrierten, normalverteilten Prozess, in dem 99,73 % der Teile innerhalb der Toleranz liegen; sein Prozessfähigkeitsindex (Cp) ist 1. Ein fähigerer Prozess hat eine kleinere Standardabweichung und weniger Ausfälle. Einer, dessen Ergebnis sich gleichmäßig über das Band verteilt, hat mehr, wie das Szenario mit Gleichverteilung oben zeigt, und einer, der außermittig läuft, bringt mehr Teile außerhalb ihrer Toleranz und verschiebt das Spiel in die eine oder andere Richtung. Liegen Messwerte vor, verwenden Sie stattdessen Mittelwert und Standardabweichung des Prozesses selbst.

Wie viele Iterationen braucht eine Toleranzsimulation?

Eine Toleranzsimulation braucht genug Iterationen, um die Ausfälle, die Sie interessieren, vielfach zu zählen. Bei etwa 3,29 % unter 0,4 mm zählen 20.000 Iterationen 641 solche Spiele und legen den Anteil auf etwa ±0,13 Prozentpunkte genau fest (ein Standardfehler einfacher Zufallsstichproben; Latin-Hypercube-Sampling, die Standardeinstellung, schneidet meist etwas besser ab). Ausfallraten in Teilen pro Million (ppm) brauchen Millionen Iterationen oder eine exakte Formel, wenn deren Annahmen gelten.

Können die Maße korreliert sein?

In xellstorm lassen sich Maße korrelieren: Geben Sie einem Paar im Schritt „Distributions“ (Verteilungen) eine Rangkorrelation, zum Beispiel zwei Teilen aus derselben Stange. Eine positive Korrelation zwischen zwei Teilen verbreitert die Streuung des Spiels, und eine zwischen Gehäuse und einem Teil verengt sie, weil das Spiel die Teile vom Gehäuse abzieht. Die einfache RSS-Formel setzt Unabhängigkeit voraus und übersieht beide Effekte.