Distribuição PERT no Excel: fórmula, média e quando usar

Guia · Atualizado em outubro de 2026

Uma distribuição PERT converte uma estimativa de três pontos (mínimo, mais provável e máximo) em uma distribuição beta esticada do mínimo ao máximo, com média (mín. + 4 × mais provável + máx.) / 6. Para a estrutura de um edifício estimada em 760, 820 e 1.010 (milhares de US$), essa média é 841,7. O Excel não tem função PERT, mas =BETA.INV(RAND(), α, β, min, max) sorteia valores de uma distribuição assim.

Seus parâmetros de forma são α = 1 + 4 × (mais provável − mín.) / (máx. − mín.) e β = 1 + 4 × (máx. − mais provável) / (máx. − mín.). Uma distribuição triangular com os mesmos três números tem média 863,3 e se espalha mais.

O que é uma distribuição PERT

Uma estimativa de três pontos informa o menor valor que você considera possível, o mais provável e o maior. A distribuição PERT transforma esses três números em uma faixa completa de resultados: nada abaixo do mínimo nem acima do máximo, um pico no valor mais provável e uma queda suave rumo às duas pontas, então valores perto dos limites são possíveis, mas raros.

Matematicamente, é uma distribuição beta: uma família de distribuições em um intervalo fixo, com a forma definida por dois números positivos, α (alfa) e β (beta), aqui esticada do intervalo de 0 a 1 para o intervalo do mínimo ao máximo. A PERT escolhe α e β para que o pico caia no valor mais provável e a média seja (mín. + 4 × mais provável + máx.) / 6: o valor mais provável conta quatro vezes, cada limite uma vez. O peso 4 vem da técnica PERT (Program Evaluation and Review Technique), método de planejamento de projetos criado para o programa de mísseis Polaris da Marinha dos EUA no final dos anos 1950, que estimava a duração esperada de cada atividade como (otimista + 4 × mais provável + pessimista) / 6. Gerentes de projeto ainda chamam essa expressão de estimativa PERT ou de três pontos; ela é a média desta distribuição.

A média, 841,7, fica acima do valor mais provável porque a faixa vai mais longe acima dele (820 a 1.010) do que abaixo (760 a 820). Estimativas de custo e duração costumam ser assimétricas assim, e por isso um total de custos mais prováveis é otimista, como mostra o exemplo de contingência de projeto. O atalho mais antigo da PERT para o desvio padrão, (máx. − mín.) / 6, é só uma aproximação: 41,7 aqui, contra 44,3 pela fórmula acima.

A fórmula da PERT no Excel

O Excel não tem função PERT, mas BETA.INV(probability, alpha, beta, A, B) devolve valores de uma distribuição beta esticada sobre qualquer intervalo de A a B. Com o mínimo, o mais provável e o máximo de uma estimativa nas células B2, C2 e D2:

Com RAND() como probabilidade, cada recálculo sorteia um novo valor. Com uma probabilidade fixa, BETA.INV devolve esse percentil diretamente, sem simulação: 0,9 dá 904,1 para o item Estrutura e 0,1 dá 786,9. BETAINV, nome da função no Excel 2007 e anteriores, recebe os mesmos argumentos. O mínimo e o máximo precisam ser diferentes, porque as duas fórmulas de forma dividem por máx. − mín.

O percentil de um item não é o percentil de um total: os P90 de vários itens não se somam no P90 da soma deles (veja P50, P80 e P90). Um total exige uma simulação, e no Excel puro isso significa juntar milhares de recálculos, por exemplo com uma tabela de dados, como explica Simulação de Monte Carlo no Excel.

PERT x triangular: os mesmos três números, respostas diferentes

Uma distribuição triangular usa o mesmo mínimo, mais provável e máximo, mas a densidade sobe em linha reta do mínimo até o valor mais provável e desce em linha reta até o máximo. A média é (mín. + mais provável + máx.) / 3: o valor mais provável conta uma vez em vez de quatro, então o limite mais distante puxa mais a média. Para o item Estrutura, isso dá 2.590 / 3 = 863,3, cerca de 22 acima dos 841,7 da PERT. O desvio padrão, √((mín.² + mp² + máx.² − mín. × mp − mín. × máx. − mp × máx.) / 18), é 53,3 contra 44,3 da PERT.

Para ver o que isso muda em um modelo, rodamos duas vezes, com a mesma semente, as 5.000 iterações do exemplo da obra: uma como publicado, com Estrutura como PERT, e outra com Estrutura trocada por uma distribuição triangular com os mesmos três números. Todas as outras entradas sorteiam exatamente os mesmos valores nas duas simulações, e cada iteração sorteia o mesmo número aleatório para Estrutura, então as duas diferem apenas na forma dessa distribuição.

Os sorteios batem com as fórmulas até a casa decimal mostrada: as médias são 841,7 e 863,3. A amostragem por Hipercubo Latino, padrão do xellstorm, ajuda aqui: cada entrada recebe exatamente um sorteio em cada uma de 5.000 fatias igualmente prováveis da faixa. A triangular é mais larga: a faixa de P10 a P90 mede 142,4, contra 117,2 da PERT, e 23,6% dos sorteios dela superam o P90 da PERT (904,1), enquanto na própria PERT isso acontece em 10%. Mas ela não é mais larga dos dois lados: perto do mínimo a PERT tem mais sorteios, e o P10 da triangular é mais alto, 798,7 contra 786,9. Com o valor mais provável perto da ponta inferior, a triangular joga peso para a longa cauda superior; numa estimativa simétrica, daria mais peso às duas pontas.

Um item entre seis já basta para mover o total. Com Estrutura como distribuição triangular, o custo total médio sobe de 2.785 para 2.806, a mesma diferença que há na média do item (todos os outros sorteios são iguais); o P90 sobe 27, e a chance de estourar o orçamento de 2.900 passa de 16,1% para 20,8%.

Nenhuma das formas é certa ou errada: são duas leituras dos mesmos três números. Escolha uma de propósito e diga em qual delas um orçamento se apoia.

Quando usar PERT, triangular ou lognormal

• PERT para estimativas de especialistas em que o valor mais provável é o número em que você mais confia: custos, durações e quantidades com piso e teto conhecidos. A média fica perto do valor mais provável e os limites raramente são atingidos, o que combina com um mínimo e um máximo entendidos como limites que você não espera alcançar.
• Triangular quando valores perto dos limites são realistas, ou quando você quer uma dispersão mais cautelosa a partir dos mesmos três números: em uma estimativa assimétrica, ela dá mais peso ao lado longo, então a média e os percentis superiores ficam mais altos. Também é fácil de explicar: a densidade é formada por duas retas.
• Lognormal quando não há um máximo firme: custos, perdas ou durações que podem estourar por um múltiplo, e outras grandezas que não podem cair abaixo de zero, mas têm uma longa cauda à direita. Ela é definida por um valor típico e uma dispersão, não por limites.
• Uma distribuição ajustada quando os três números não são limites de forma alguma. Se o “baixo” e o “alto” de um especialista são casos de um em dez (P10 e P90), uma PERT que os use como mínimo e máximo deixa de fora os 20% de resultados além deles; ajuste uma distribuição aos percentis. Com dados históricos, ajuste-a aos dados.

A variação simétrica em torno de uma meta, como uma dimensão usinada, costuma ser normal, como no exemplo de empilhamento de tolerâncias.

Como definir uma distribuição PERT no xellstorm

O xellstorm calcula a planilha no navegador e mantém as distribuições ao lado dela, então ela não precisa de fórmulas BETA.INV:

1. Abra a planilha, clique no mapa do modelo em uma célula sobre a qual você tem dúvida e escolha Make input. As novas entradas começam como uma PERT de 90% a 110% do valor salvo da célula.
2. Na etapa Distributions, mantenha PERT na coluna Distribution e digite o mínimo, o mais provável e o máximo. As colunas Shape, Mean e P10 – P90 se atualizam enquanto você digita, então dá para ver o que os três números implicam antes de rodar.
3. Se as estimativas já estão na planilha, em células rotuladas Min, Likely e Max (ou Low, Base e High) ao lado da entrada, o painel lateral traz a opção “Link to these cells”. A PERT passa a ler essas células antes de cada simulação, e as alterações feitas na planilha valem quando você abre a versão editada e aplica o projeto salvo. O exemplo de registro de riscos funciona assim.
4. Se o valor baixo e o alto são P10 e P90, e não limites, digite-os em “Fit from estimates”, no painel lateral, junto com o valor típico como P50, e escolha a forma: PERT, Normal, Lognormal ou Triangular. O xellstorm encontra a distribuição mais próxima dessa forma e mostra o erro do ajuste. A aba “From data” faz o ajuste a valores históricos.
5. Para comparar formas, adicione um cenário que mude a distribuição da entrada para Triangular e digite os mesmos três números. Os cenários rodam nos mesmos sorteios aleatórios, e a etapa Results compara cada um com o caso-base.

Planilhas criadas para @RISK, ModelRisk ou Analytic Solver costumam conter funções PERT (RiskPert, VosePERT, PsiPert). “Import from workbook” transforma em entrada uma função isolada, ou uma com um único multiplicador positivo seguido de, no máximo, um deslocamento; VosePERT(E7,1,F7)*D7 é um exemplo. Argumentos e multiplicadores que usam células continuam vinculados, inclusive a aritmética deles, e são lidos de novo depois de aplicadas as células fixas de cada cenário. A fórmula BETA.INV acima também converte em uma entrada beta equivalente: os dois cálculos de forma, o mínimo e o máximo continuam vinculados às células. As divisões explícitas da fórmula continuam exigindo mínimo e máximo diferentes. Uma entrada PERT cujo mínimo, mais provável e máximo são todos iguais sorteia esse único valor.

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