Lois de Bernoulli et binomiale dans Excel : événements oui ou non et nombre de « oui » sur n épreuves

Guide · Mis à jour en octobre 2026

En bref : une loi de Bernoulli répond à « est-ce que cela arrive ? » par 1 ou 0 ; une loi binomiale répond à « combien sur n ? ».

Une loi de Bernoulli décrit un seul événement oui ou non : un risque qui survient (1) avec la probabilité p ou non (0), tiré dans Excel avec =IF(RAND() < p, 1, 0). Une loi binomiale compte les « oui » parmi n épreuves indépendantes de même probabilité, tirée avec =BINOM.INV(n, p, RAND()). Dans un lot de 50 unités avec un taux de défauts de 4 %, 2 sont défectueuses en moyenne ; un lot sans aucun défaut a 13,0 % de probabilité, et 4,9 % d’en compter 5 ou plus.

Bernoulli : cela arrive-t-il ou non ?

Beaucoup d’incertitudes d’un modèle sont des événements plutôt que des montants : une autorisation est retardée ou non, un fournisseur fait défaut ou non, un risque du registre survient ou non. Une loi de Bernoulli vaut 1 avec la probabilité p et 0 sinon. Multipliez-la par l’impact et vous obtenez le coût du risque à chaque itération : =IF(RAND() < 0.3, 1, 0) * 500 vaut 500 dans environ 30 % des itérations et 0 dans les autres.

Sa moyenne est p : le coût attendu de ce risque est donc 0,3 × 500 = 150. Mais aucune itération ne coûte jamais 150 : chacune coûte 0 ou 500. Mettre probabilité × impact dans un modèle comme un nombre fixe masque justement cela, et c’est pourquoi un registre de tels risques demande une simulation pour dimensionner sa provision pour aléas (voir l’exemple du registre des risques). Dans les 10 000 tirages de cette ligne par xellstorm, le risque est survenu dans 30,0 % des itérations.

Binomiale : combien sur n ?

Répétez n fois, indépendamment, la même chance de « oui », et comptez les « oui » : ce nombre suit une loi binomiale. Des unités défectueuses dans un lot, des clients qui acceptent une offre sur 200, des jours de pluie sur 20. Sa moyenne est n × p et son écart type √(n × p × (1 − p)) : 2 et 1,39 pour un lot de 50 avec p = 0,04. Une loi de Bernoulli est une binomiale avec n = 1.

Comment lire le graphique : chaque barre est la part des 10 000 lots simulés comptant ce nombre d’unités défectueuses, et chaque point la probabilité exacte.

La loi binomiale dans Excel

• BINOM.DIST(k, n, p, FALSE) (LOI.BINOMIALE.N dans Excel en français) est la probabilité d’en avoir exactement k : deux unités défectueuses dans le lot ont 27,6 % de probabilité. Avec TRUE, c’est la probabilité d’en avoir k ou moins, si bien que =1-BINOM.DIST(4, 50, 0.04, TRUE) donne la probabilité de 4,9 % d’en avoir 5 ou plus.
• BINOM.INV(n, p, probability) (LOI.BINOMIALE.INVERSE dans Excel en français) répond à la question inverse : le plus petit nombre qui n’est pas dépassé avec au moins la probabilité donnée, c’est-à-dire un centile. Avec RAND(), elle tire un nombre aléatoire : =BINOM.INV(D15,F15,RAND()). Attention à l’ordre : la probabilité vient en dernier, contrairement à NORM.INV. L’ancien nom est CRITBINOM.

Avec de nombreuses épreuves et une petite probabilité, la loi binomiale est proche d’une loi de Poisson de même moyenne : un lot sans défaut a 13,0 % de probabilité avec la binomiale et 13,5 % avec une loi de Poisson de moyenne 2.

Saisir des lois de Bernoulli et binomiale dans xellstorm

1. Faites de la cellule une entrée puis, à l’étape Distributions, choisissez Bernoulli et saisissez p, ou Binomiale et saisissez n et p.
2. Pour un événement de risque, gardez l’impact dans une cellule à part (un nombre fixe ou une autre entrée, une PERT par exemple) et multipliez dans le fichier Excel : la survenue et l’ampleur du risque restent ainsi distinctes, et l’analyse de sensibilité montre laquelle des deux fait varier le résultat.
3. Avec des résultats 0/1 passés, « À partir de données » dans le panneau latéral ajuste une loi de Bernoulli ; avec des comptages passés sur un n connu, saisissez n sous « Binomiale : nombre d’épreuves connu » et ajustez à nouveau.

« Importer depuis le fichier » convertit =IF(RAND() < p, 1, 0) en entrée de Bernoulli et =BINOM.INV(n, p, RAND()) en entrée binomiale ; les modèles de compléments se convertissent depuis RiskBernoulli, VoseBernoulli, PsiBernoulli, RiskBinomial, VoseBinomial et PsiBinomial.

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