Análisis de acumulación de tolerancias: ¿peor caso, RSS o Monte Carlo?

Ejemplo resuelto · Acumulación de tolerancias · Actualizado en octubre de 2026

En este ejemplo, sumar las seis tolerancias (peor caso) permite que la holgura baje a 0,120 mm, y sin embargo RSS prevé que solo el 3,29 % de los ensambles queda por debajo de los 0,4 mm requeridos, y una simulación Monte Carlo de 20.000 ensambles da 3,21 %. El peor caso dice si se garantiza que todos los ensambles encajan; RSS y Monte Carlo, con qué frecuencia alguno no encajará.

El ejemplo es una carcasa de 100,00 ± 0,10 mm que aloja cinco piezas con una holgura nominal de 0,500 mm. Si cada tolerancia equivale a tres desviaciones estándar, la raíz de la suma de cuadrados (RSS) da a la holgura una desviación estándar de 0,0544 mm. Con los mismos supuestos normales, una holgura tan pequeña como la del peor caso se daría aproximadamente una vez en 730 mil millones ensambles: en la práctica, nunca.

El modelo

El archivo tiene una sola hoja, Stack, con una tabla de tolerancias: una carcasa y cinco piezas apiladas de extremo a extremo en su interior, cada una con una dimensión nominal (columna B, en mm) y una tolerancia ± (columna C). La columna D, Actual, contiene cada dimensión tal como se fabricó; en el archivo guardado es igual a la nominal. La holgura en D9 es la carcasa menos las piezas, =D2-SUM(D3:D7), y D10 calcula del mismo modo la holgura nominal a partir de la columna B. No hay funciones de complementos.

Para la simulación, cada celda Actual (D2 a D7) sigue una distribución normal cuya media es su valor nominal y cuya desviación estándar es un tercio de su tolerancia. La tolerancia se toma como tres desviaciones estándar (3σ), así que el 99,73 % de las piezas queda dentro de tolerancia. El objetivo cuenta como falla una holgura inferior a 0,4 mm: piense en ella como la holgura mínima que necesita el ensamble, por ejemplo para dejar espacio a la dilatación térmica.

Las distribuciones y el objetivo vienen con el ejemplo cuando lo abre en xellstorm. El archivo descargable contiene solo las dimensiones, las tolerancias y las fórmulas, como lo haría una tabla de tolerancias corriente. Las desviaciones estándar se escriben en la configuración de la simulación en lugar de vincularse a la columna C, así que si cambia una tolerancia en el archivo, cambie también su desviación estándar.

Peor caso: sumar las tolerancias

Una acumulación de peor caso (aritmética) supone que todas las dimensiones están a la vez en su límite menos favorable: la carcasa en su valor mínimo, 99,90 mm, y cada pieza en su valor máximo. La tolerancia de la holgura es entonces la suma de las seis tolerancias, ±0,38 mm, así que la holgura se sitúa en algún punto entre 0,120 y 0,880 mm.

Eso es una garantía: ningún ensamble construido con piezas dentro de tolerancia puede quedar fuera de ese rango. Frente al mínimo de 0,4 mm, sin embargo, el diseño falla en el papel. Para cumplir, las tolerancias tendrían que sumar como máximo los 0,100 mm que separan la holgura nominal del mínimo; reducirlas todas en proporción lleva cada una a 26 % de su valor. Lo que el peor caso no dice es con qué frecuencia la holgura se queda corta de verdad.

RSS: raíz de la suma de cuadrados

Cuando las dimensiones varían de forma independiente, se suman sus varianzas, no sus tolerancias. Con cada desviación estándar igual a un tercio de su tolerancia, la desviación estándar de la holgura es la raíz cuadrada de la suma de las seis varianzas: 0,0544 mm. De forma equivalente, la tolerancia RSS, la raíz cuadrada de la suma de las tolerancias al cuadrado, es ±0,163 mm, tres desviaciones estándar de la holgura: el 99,73 % de las holguras queda entre 0,337 y 0,663 mm. Leída como un rango ±, RSS también rechaza el diseño, ya que 0,337 mm está por debajo del mínimo.

Pero RSS también puede dar una tasa. Una suma de dimensiones normales independientes es a su vez normal, centrada en la holgura nominal de 0,500 mm, así que la probabilidad de una holgura inferior a 0,4 mm se deduce exactamente de la distribución normal. El mínimo queda 1,84 desviaciones estándar por debajo de la holgura nominal, y el 3,29 % de una distribución normal queda más allá de ese punto. En el archivo, Excel da el mismo número con =NORM.DIST(0.4, D10, SQRT(SUMSQ(C2:C7))/3, TRUE).

Esa tasa se apoya en supuestos: las dimensiones son independientes, normales y están centradas en sus valores nominales, cada tolerancia equivale a tres desviaciones estándar y la holgura es una suma simple.

Monte Carlo: construir el ensamble 20.000 veces

Una simulación Monte Carlo construye el ensamble una y otra vez: en cada iteración genera las seis dimensiones a partir de sus distribuciones, recalcula el archivo y registra la holgura. De las 20.000 holguras simuladas, 641 (3,21 %) son inferiores a 0,4 mm, frente al valor exacto, 3,29 %. La diferencia es ruido de muestreo: con 20.000 iteraciones, una proporción cercana a 3,29 % es incierta en aproximadamente ±0,13 puntos porcentuales. Es un error estándar del muestreo aleatorio simple; el muestreo de hipercubo latino, que es el predeterminado, toma cada dimensión una vez de cada una de las 20.000 porciones igualmente probables de su distribución y suele hacerlo algo mejor, y nunca peor cuando el resultado se mueve en un solo sentido con cada entrada, como aquí. La media y la desviación estándar simuladas también coinciden con los valores RSS.

¿Qué tan conservador es el peor caso?

Mucho. Para que la holgura llegue a 0,120 mm, las dimensiones deben salir en conjunto 0,38 mm hacia el lado desfavorable, lo que, con todas las piezas dentro de tolerancia, exige que las seis estén en sus límites a la vez. Con los mismos supuestos normales, una holgura tan pequeña queda 6,99 desviaciones estándar por debajo de la holgura nominal, y su probabilidad es 1,4 × 10⁻¹²: aproximadamente un ensamble de cada 730 mil millones. Pocos procesos reales siguen una distribución normal tan adentro de las colas, y la inspección elimina las piezas fuera de tolerancia, así que lea esto solo como “prácticamente nunca”. La simulación dice lo mismo a su manera: la menor de sus 20.000 holguras es 0,287 mm.

La garantía tiene un precio. Para cumplir 0,4 mm por el peor caso, las tolerancias reducidas en proporción deben bajar a 26 % de sus valores; por RSS a 3σ, a 61 %, lo que aún deja el 0,135 % de las holguras por debajo del mínimo. Las tolerancias más estrechas cuestan más de mecanizar e inspeccionar. Aceptar que el 3,29 % de los ensambles quede por debajo de 0,4 mm, o pagar para reducirlo, es una decisión de diseño; el análisis estadístico muestra entre qué opciones se elige.

Qué tolerancia estrechar primero

En una acumulación lineal en la que toda tolerancia es 3σ, la parte de la varianza de la holgura que corresponde a cada dimensión es su tolerancia al cuadrado dividida por la suma de las tolerancias al cuadrado. La carcasa, con ±0,10 mm, aporta 37,6 %; Pieza 5, con ±0,08 mm, 24,1 %; y Pieza 3, con ±0,04 mm, solo 6,0 %. Como las tolerancias entran al cuadrado, las mayores dominan. Según la fórmula RSS, reducir a la mitad la tolerancia de la carcasa, a ±0,05 mm, baja la proporción de holguras inferiores a 0,4 mm del 3,29 % al 1,50 %, mientras que reducir a la mitad la de Pieza 3, a ±0,02 mm, solo la lleva al 2,99 %.

La tabla de contribución a la varianza de la aplicación estima las mismas proporciones a partir de los rangos de las iteraciones simuladas: 38,0 % para la carcasa, frente al valor exacto de 37,6 %. En los modelos sin una fórmula para las proporciones, esa tabla y el diagrama de tornado son la manera de encontrar la dimensión que conviene estrechar; vea diagramas de tornado y análisis de sensibilidad.

Cuándo vale la pena Monte Carlo

RSS y Monte Carlo coinciden aquí porque el ejemplo cumple todos los supuestos de RSS. El que más pesa es que cada tolerancia equivale a tres desviaciones estándar de una distribución normal. Suponga, en cambio, que las dimensiones se reparten de manera uniforme por toda su banda de tolerancia, por ejemplo porque una herramienta de corte se desgasta de forma constante a lo largo de un lote. Cada dimensión es entonces uniforme, con una desviación estándar igual a su tolerancia dividida por √3, 1,73 veces la normal.

En un escenario con los mismos valores aleatorios en el que cada dimensión es uniforme entre nominal − tolerancia y nominal + tolerancia, la simulación deja el 14,99 % de las holguras por debajo de 0,4 mm, frente al 3,21 % anterior. La solución exacta para dimensiones uniformes, a partir de la distribución de una suma de uniformes, es 15,03 %. RSS con las desviaciones estándar uniformes (0,0942 mm para la holgura) da 14,41 %: cerca, pero algo bajo, porque sigue tratando la holgura como normal, y seis dimensiones, una de ellas con el 37,6 % de la varianza, no la hacen del todo normal. El peor caso no se mueve en absoluto: ignora cómo se distribuyen las dimensiones.

Así, para una suma simple de dimensiones independientes, RSS con las desviaciones estándar correctas se acerca mucho. Monte Carlo se justifica cuando la acumulación es menos simple: una holgura que depende de ángulos o radios, o de un MAX o un IF en la fórmula; distribuciones sesgadas o truncadas por la inspección; dimensiones que varían juntas; o un modelo que ya vive en una hoja de cálculo. xellstorm recalcula el archivo en cada iteración, así que la holgura es lo que las propias fórmulas del archivo hacen con las dimensiones, y no una suma reescrita para el análisis.

Pruébelo usted mismo

1. Abra el modelo en xellstorm. Las seis dimensiones son entradas, la holgura en D9 es la salida y una holgura inferior a 0,4 mm es el objetivo; no hay que instalar nada ni registrarse, y el archivo se calcula en el navegador.
2. Ejecútelo: con la misma semilla y 20.000 iteraciones obtendrá los números de esta página (la aplicación redondea las proporciones a un decimal, por ejemplo 3,2 %). Los resultados muestran la holgura media, la probabilidad de una holgura inferior a 0,4 mm y el P10, 0,430 mm, que supera el 90 % de los ensambles; la tabla de percentiles llega hasta P1.
3. Escriba otro mínimo en el cuadro de probabilidad, como el límite RSS de 0,337 mm, o pase el cursor sobre la curva S para leer la probabilidad de una holgura inferior a cualquier valor.
4. En el paso Distributions, agregue un escenario llamado “Uniform within tolerance”, cambie la distribución de cada dimensión a Uniform con min en nominal − tolerancia y max en nominal + tolerancia (para la carcasa, 99,90 y 100,10), y ejecute de nuevo: la tabla de escenarios lo compara con el caso base sobre los mismos valores aleatorios. Un segundo escenario puede reducir a la mitad la sd de la carcasa, de 0,0333 a 0,0167, para ver qué aporta una tolerancia más estrecha en la carcasa.
5. Luego abra su propia tabla de tolerancias, convierta cada dimensión en una entrada normal con sd = tolerancia / 3 (o la dispersión que muestren los datos de su proceso) y elija la holgura como salida.

¿Se puede hacer esto solo con Excel?

Sí. La tasa RSS es la fórmula única NORM.DIST de arriba. Para una simulación Monte Carlo, reemplace cada valor Actual por una fórmula como =NORM.INV(RAND(), B2, C2/3), repita el cálculo unos miles de veces con una tabla de datos y cuente las holguras inferiores a 0,4 mm con COUNTIF. Simulación Monte Carlo en Excel muestra cómo, y qué cambia cuando una herramienta ejecuta el archivo por usted.

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