Loi uniforme dans Excel : nombres aléatoires entre deux valeurs
En bref : toutes les valeurs entre un minimum et un maximum sont équiprobables, comme un jet de dé étalé sur toute une fourchette.
Une loi uniforme rend équiprobables toutes les valeurs comprises entre un minimum et un maximum. Dans Excel, =min + (max - min) * RAND() en tire une valeur, et RANDBETWEEN(min, max) tire des nombres entiers. Pour un prix unitaire compris entre 40 et 60 (dollars US), la moyenne est 50, le P10 42 et le P90 58.
Ce qu’est une loi uniforme
Deux nombres la définissent : la valeur la plus basse et la valeur la plus haute possibles. Entre les deux, la densité est plate : chaque tronçon de l’intervalle reçoit donc une part des résultats proportionnelle à sa largeur. Avec un intervalle de 20, chaque unité en reçoit 5,0 %, et le P10 se situe au dixième du chemin depuis le minimum.
Comment lire le graphique : chaque barre compte combien des 10 000 valeurs simulées sont tombées dans cet intervalle, et la ligne est la courbe théorique. Plus la barre est haute, plus les valeurs tombent souvent à cet endroit. Ici, les barres ont toutes à peu près la même hauteur : aucune partie de la fourchette n’est favorisée.
Formules : moyenne, écart type, centiles
| Grandeur | Formule et exemple |
|---|---|
| Moyenne et médiane | (min + max) / 2 = 50 |
| Écart type | (max − min) / √12 = 20 / 3,464 = 5,77 |
| Centile p | min + p × (max − min) P10 = 42, P90 = 58 |
La loi uniforme dans Excel
RAND() (ALEA dans Excel en français) est elle-même uniforme entre 0 et 1. L’étirer sur un intervalle quelconque donne un tirage uniforme : en une seule cellule, =D9+(F9-D9)*RAND(), avec le minimum en D9 et le maximum en F9. Pour des nombres entiers, RANDBETWEEN(min, max) (ALEA.ENTRE.BORNES dans Excel en français) renvoie un entier de min à max, bornes comprises.
| Cellule | Formule | Valeur |
|---|---|---|
| Nombre aléatoire u (I9) | =RAND() | |
| Tirage (J9) | =D9+(F9-D9)*I9 | |
| Tirage en une seule cellule | =D9+(F9-D9)*RAND() | |
| Moyenne (K9) | =(D9+F9)/2 | 50 |
| P10 (L9) | =D9+(F9-D9)*0.1 | 42 |
| P90 (M9) | =D9+(F9-D9)*0.9 | 58 |
Vérifier les chiffres : valeurs exactes comparées à 10 000 tirages d’Excel et de xellstorm
| Valeur exacte | Excel, RAND() | xellstorm | |
|---|---|---|---|
| Moyenne | 50,00 | 49,96 | 50,00 |
| Écart type | 5,77 | 5,78 | 5,77 |
| P10 | 42,00 | 41,97 | 42,00 |
| P50 (médiane) | 50,00 | 49,91 | 50,00 |
| P90 | 58,00 | 57,95 | 58,00 |
Excel tire avec RAND(), de façon entièrement aléatoire ; xellstorm répartit ses tirages régulièrement sur toute la fourchette (échantillonnage par hypercube latin), si bien que ses statistiques tombent plus près des valeurs exactes.
Quand la loi uniforme convient
À utiliser quand vous connaissez une fourchette et rien de plus : aucune valeur n’y est plus plausible qu’une autre. C’est plus rare qu’il n’y paraît. Si vous parieriez sur le milieu plutôt que sur les bords, une loi triangulaire ou une distribution PERT l’exprime. Sur la même fourchette de 40 à 60, une triangulaire culminant à 50 place 75,0 % des résultats entre 45 et 55 ; la loi uniforme n’y en met que 50,0 %, et son écart type est de 5,77, contre 4,08.
- Bons usages : une valeur qui tombe n’importe où dans une fenêtre connue (une arrivée dans l’heure, une position le long d’une pièce), un paramètre que l’on balaie sur une fourchette plausible pour voir quelle différence il fait, ou une première ébauche de modèle avant de disposer de meilleures estimations.
- Mauvais usages : les coûts et les durées, dont les extrêmes sont moins probables que le milieu, et tout ce qui n’a pas de bornes strictes.
Saisir une loi uniforme dans xellstorm
- Faites de la cellule une entrée puis, à l’étape Distributions, choisissez Uniforme et saisissez son min et son max. Pour des nombres entiers, choisissez Uniforme entière.
- Avec des valeurs passées, « À partir de données » dans le panneau latéral compare une loi uniforme à d’autres formes : vous voyez ainsi si les données sont vraiment plates.
« Importer depuis le fichier » convertit en entrées uniformes les cellules comme =a + (b - a)*RAND(), et en entrées uniformes entières les RANDBETWEEN(a, b) ; les modèles de compléments se convertissent depuis RiskUniform, VoseUniform et PsiUniform.
Questions fréquentes
Comment générer un nombre aléatoire entre deux valeurs dans Excel ?
Utilisez =min + (max - min) * RAND(), par exemple =40 + (60 - 40) * RAND() pour une valeur entre 40 et 60. Pour des nombres entiers, utilisez =RANDBETWEEN(40, 60). Les deux tirent à nouveau à chaque recalcul de la feuille. Dans Excel en français : =40+(60-40)*ALEA() et =ALEA.ENTRE.BORNES(40;60).
Quelles sont la moyenne et l’écart type d’une loi uniforme ?
La moyenne est le milieu, (min + max) / 2, et l’écart type vaut (max − min) / √12, soit environ 0,29 fois la largeur. De 40 à 60 : moyenne 50, écart type 5,77.
Uniforme ou triangulaire ?
Choisissez l’uniforme quand aucune valeur de la fourchette n’est plus probable qu’une autre ; choisissez la triangulaire, ou la PERT, quand vous avez une valeur la plus probable. Sur la même fourchette, c’est l’uniforme qui s’étale le plus : son écart type est de 5,77, contre 4,08 pour une triangulaire dont le pic est au milieu.
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