Wie viele Einheiten sollten Sie bestellen, wenn die Nachfrage unsicher ist?

Praxisbeispiel · Bestellmenge · Stand: Oktober 2026

Bestellen Sie die Menge, die die Nachfrage in 66,7 % der Fälle nicht überschreitet, das kritische Fraktil: Bei einer durchschnittlichen Nachfrage von 1.000 Einheiten (Standardabweichung 200), einem Verkaufspreis von 10, Kosten von 4 und einem Restwert von 1 je übrig gebliebener Einheit sind das 1.086,1 Einheiten, mit einem erwarteten Gewinn von 5.345,5. Eine Monte-Carlo-Suche in der Beispieldatei wählt 1.090, den Schritt, der diesem Optimum am nächsten liegt.

Das kritische Fraktil liegt dort, wo für eine weitere Einheit die Verkaufschance mal Gewinn gerade so groß ist wie die Chance, dass sie übrig bleibt, mal Verlust. Entgeht durch einen verpassten Verkauf mehr, als eine übrig gebliebene Einheit kostet, liegt dieser Punkt über dem Median der Nachfrage, dem Wert, den die Nachfrage in der Hälfte der Fälle überschreitet. In diesem Beispiel ist die Nachfrage normalverteilt, ihr Median ist also ihr Mittelwert; die Beträge sind in Währungseinheiten der Datei angegeben. Die Suche läuft über Bestellmengen von 600 bis 1.600 Einheiten in Schritten von 10; bei 1.090 beträgt der mittlere Gewinn 5.345 ± 31 (95-%-Intervall, 5.000 simulierte Saisons), und die Nachfrage übersteigt den Bestand in 32,6 % der Saisons.

Das Modell

Das ist das Newsvendor-Problem (Zeitungsjungen-Problem): eine einzige Bestellung vor einer Verkaufssaison, die Nachfrage nur als Spanne von Möglichkeiten bekannt, unverkaufte Einheiten werden am Ende günstig abverkauft, und Nachfrage über die Bestellung hinaus geht verloren. Die Excel-Datei hat ein Tabellenblatt, Model, mit Beschriftungen in Spalte A und Werten in Spalte B:

Vier Formeln machen aus einer Bestellmenge und einer Nachfrage das Ergebnis der Saison: die verkauften Einheiten Sold, =MIN(B1,B6); die übrig gebliebenen Einheiten Leftover, =MAX(B1-B6,0); den Gewinn Profit, =B2*B8+B4*B9-B3*B1, also Verkäufe plus Restwert minus Kosten der gesamten Bestellung; und den entgangenen Absatz Lost sales, =MAX(B6-B1,0), die Nachfrage, die die Bestellung nicht decken konnte. Ein Fehlbestand ist hier eine Saison mit entgangenem Absatz: Nachfrage über der Bestellmenge. Add-In-Funktionen kommen nicht vor.

Die Datei zum Herunterladen enthält diese Formeln, die Bestellmenge von 1.000 Einheiten und einen festen Platzhalter in der Nachfragezelle. Die Nachfrageverteilung, die beiden Ausgangsgrößen (Profit und Lost sales), das Fehlbestandsziel und die Optimierungsstudie werden in xellstorm festgelegt und mit dem Beispiel geladen, getrennt von der Datei, die so bleibt, wie Sie sie selbst bauen würden.

Eine Normalverteilung lässt prinzipiell auch Nachfrage unter null zu, doch null liegt 5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert, eine Chance von etwa 1 von 3,5 Millionen; die kleinste der 5.000 simulierten Nachfragen beträgt 200 Einheiten. Die Nachfrage wird als kontinuierliche Zahl gezogen; Verkäufe, Restbestände und die Bestellmenge der Zielwertsuche weiter unten können daher Bruchteile einer Einheit sein. Runden Sie bei der Bestellung auf ganze Einheiten.

Warum mehr als die durchschnittliche Nachfrage bestellen?

Denken Sie an die letzte Einheit der Bestellung. Wird sie verkauft, bringt sie den Preis minus ihre Kosten: 10 − 4 = 6. Bleibt sie übrig, verliert sie ihre Kosten minus den Restwert: 4 − 1 = 3. Eine zusätzliche Einheit lohnt sich, solange ihre Verkaufschance mal 6 größer ist als die Chance, dass sie übrig bleibt, mal 3, also solange die Chance, sie zu verkaufen, über 3 / (6 + 3) = 33,3 % liegt. Bei einer Bestellmenge in Höhe der durchschnittlichen Nachfrage (1.000 Einheiten) wird die nächste Einheit in der Hälfte der Fälle verkauft, größere Bestellmengen lohnen sich also. Sie lohnen sich nicht mehr dort, wo die Nachfrage in 66,7 % der Fälle unter der Bestellmenge bleibt.

Die Simulation zeigt dieselbe Rechnung Saison für Saison. Bei denselben 5.000 simulierten Saisons bringt eine Bestellung von 1.090 statt 1.000 Einheiten genau 540 mehr (90 × 6) in 32,6 % der Saisons, in denen die Nachfrage 1.090 erreicht, und genau 270 weniger (90 × 3) in 50 %, in denen die Nachfrage bei höchstens 1.000 bleibt; in den Saisons dazwischen liegt die Differenz zwischen beiden. Im Durchschnitt bringt die größere Bestellung pro Saison 63,5 mehr, wie die exakte Formel unten ergibt (63,5).

Die exakte Lösung: das kritische Fraktil

Die Regel hat einen Namen, das kritische Fraktil: Die beste Bestellmenge Q* ist das Nachfrageniveau, das mit der Wahrscheinlichkeit (Preis − Kosten) / (Preis − Restwert) nicht überschritten wird, hier (10 − 4) / (10 − 1) = 0,667. Bei normalverteilter Nachfrage gilt Q* = Mittelwert + z × Standardabweichung, wobei z = 0,4307 der Wert der Standardnormalverteilung ist, unter dem 66,7 % der Wahrscheinlichkeit liegen (=NORM.S.INV(6/9) in Excel). Also Q* = 1.000 + 0,4307 × 200 = 1.086,1 Einheiten.

Auch der erwartete Gewinn hat eine geschlossene Form. Für jede Bestellmenge Q gilt mit z = (Q − Mittelwert) / Standardabweichung: (Preis − Restwert) × (Mittelwert − Standardabweichung × L(z)) − (Kosten − Restwert) × Q, wobei L(z) = φ(z) − z × (1 − Φ(z)) die Verlustfunktion der Standardnormalverteilung ist, mit φ als Dichte und Φ als Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (in Excel =NORM.S.DIST(z,FALSE)-z*(1-NORM.S.DIST(z,TRUE))); Standardabweichung × L(z) ist der erwartete entgangene Absatz. Bei Q* vereinfacht sich das zu (Preis − Kosten) × Mittelwert − (Preis − Restwert) × Standardabweichung × φ(z) = 5.345,5, und die Chance eines Fehlbestands ist 1 − 0,667 = 33,3 %. Bei einer Bestellung in Höhe der durchschnittlichen Nachfrage von 1.000 Einheiten beträgt der erwartete Gewinn 5.281,9.

Die Bestellmenge per Simulation suchen

Die Formeln brauchen ein so einfaches Modell (ein Produkt, eine Bestellung, feste Preise) und eine Nachfrageverteilung, für deren Perzentile und erwarteten entgangenen Absatz es Formeln gibt. Eine Simulation braucht nur eine Möglichkeit, die Nachfrage zu ziehen; dieses Beispiel prüft, ob sie dieselbe Antwort findet. Die Optimierungsstudie, die mit dem Beispiel geladen wird, macht die Bestellmenge (B1) zur Entscheidung, probiert alle Bestellmengen von 600 bis 1.600 Einheiten in Schritten von 10 durch, also 101 Kandidaten, und maximiert den Mittelwert von Profit. Eine Nebenbedingung gilt: Die Chance eines Fehlbestands, der Anteil der Iterationen mit Lost sales über null, darf höchstens 50 % betragen. Jeder Kandidat wird mit 1.000 Iterationen simuliert, die drei besten laufen erneut mit 5.000, und jeder Lauf verwendet dieselben Zufallszahlen für die Nachfrage. Diese gemeinsamen Zufallszahlen (Common Random Numbers) lassen die Kandidaten nur durch die Bestellmenge voneinander abweichen, nicht durch Glück bei den Ziehungen.

Der erneute Lauf wählt 1.090 Einheiten. Der mittlere Gewinn beträgt 5.345 ± 31 (exakt bei dieser Bestellmenge: 5.345,4), ein Fehlbestand tritt in 32,6 % der Saisons auf (exakt: 32,6 %). Das ist der Schritt, der dem exakten Optimum von 1.086,1 am nächsten liegt, und der exakte erwartete Gewinn von 5.345,5 liegt innerhalb des Intervalls.

Die Intervalle der drei besten Bestellmengen überlappen fast vollständig, und doch ist der Sieger eindeutig. Jedes Intervall schätzt das Rauschen im Mittelwert des Kandidaten: xellstorm leitet es daraus ab, wie stark der Mittelwert zwischen 20 Teilstichproben seiner Iterationen schwankt. Latin-Hypercube-Sampling, die Voreinstellung von xellstorm, verteilt die Ziehungen eines Laufs gleichmäßig über die Nachfrageverteilung. Dadurch ist der Mittelwert eines ganzen Laufs noch stabiler, als sein Intervall nahelegt: Bei erneutem Lauf mit 3 anderen Seeds bleibt der mittlere Gewinn bei 1.090 Einheiten innerhalb von 0,2 des Werts dieses Laufs.

Entscheidend ist die Differenz zwischen den Kandidaten. Dieselben Ziehungen schieben alle Kandidaten gemeinsam nach oben oder unten, daher sind die Differenzen viel stabiler als die Intervalle. Saison für Saison verglichen, liegt die Bestellmenge 1.090 um 1,43 vor 1.100 (95-%-Intervall 0,47 bis 2,39). Das Intervall schließt null aus: über das Zufallsrauschen hinaus besser, aber nur wenig. Die exakte Differenz im erwarteten Gewinn beträgt 1,43. Nahe dem Maximum ist die Gewinnkurve flach, ein Schritt daneben kostet also fast nichts; an den Enden des Bereichs, bei 600 und 1.600 Einheiten, fällt der erwartete Gewinn auf 3.585 und 4.199.

In der Suche selbst lag 1.100 vorn, mit einem mittleren Gewinn von 5.370,3 gegenüber 5.369,9 bei 1.090. Sie nutzt die ersten 1.000 der 5.000 Iterationen, und diese enthalten zufällig etwas mehr Nachfrage: im Durchschnitt 1.003,7 Einheiten gegenüber 1.000,0 über alle. Das hebt den Gewinn der größeren Bestellmengen nahe dem Maximum und verschiebt die Spitze der Kurve um einen Schritt nach oben. Der erneute Lauf mit 5.000 Iterationen entscheidet, und xellstorm meldet es, wenn er den Sieger ändert.

Die Nebenbedingung und was weniger Fehlbestände kosten

Die Nebenbedingung zum Fehlbestand ist hier nicht bindend. Sie schließt Bestellmengen von 1.000 Einheiten oder weniger aus (bei 1.000 ist in 51,6 % der Iterationen der Suche der Bestand erschöpft): Bei normalverteilter Nachfrage reicht eine Bestellung in Höhe des Mittelwerts in der Hälfte der Fälle nicht aus. Die beste Bestellmenge senkt die Chance eines Fehlbestands schon auf 32,6 %.

Ist ein Fehlbestand in 32,6 % der Saisons zu häufig, etwa weil Kundschaft vor leeren Regalen nicht wiederkommt, legen Sie die Chance fest, die Sie akzeptieren, und lassen die Bestellmenge per Zielwertsuche bestimmen. Die Zielwertsuche von xellstorm halbiert den Bereich der Bestellmengen, bis die Kennzahl das Ziel trifft. Mit 5.000 Iterationen pro Auswertung findet sie nach 7 Auswertungen 1.256,25 Einheiten, bei denen in genau 10 % der Iterationen der Bestand ausgeht. Die exakte Lösung ist das Nachfrageniveau, das mit einer Chance von 90 % nicht überschritten wird, 1.000 + 200 × NORM.S.INV(0.9) = 1.256,3 Einheiten.

Wer die Chance eines Fehlbestands von 32,6 % auf 10 % senken will, bestellt 166 Einheiten mehr; davon bleiben in einer durchschnittlichen Saison 133 übrig. Das kostet 199 mittleren Gewinn pro Saison (3,7 %; die exakte Differenz im erwarteten Gewinn zwischen den beiden Bestellmengen beträgt 199,4). Der P10-Gewinn, das Niveau, das 90 % der Saisons erreichen, sinkt ebenfalls, von 3.425 auf 2.926: In einer schwachen Saison bleibt bei einer größeren Bestellung mehr Ware unverkauft (siehe P50, P80 und P90). Wer nur die durchschnittliche Nachfrage bestellt, hat von den dreien den höchsten P10-Gewinn, steht aber in 50 % der Saisons ohne Bestand da. Ob weniger Fehlbestände den Preis wert sind, ist eine unternehmerische Entscheidung; die Simulation beziffert den Preis.

Selbst ausprobieren

1. Öffnen Sie das Modell in xellstorm. Nachfrageverteilung, die Ausgangsgrößen Profit und Lost sales, das Ziel (Lost sales über null, die Chance eines Fehlbestands) und die Optimierungsstudie sind schon festgelegt; Sie müssen nichts installieren und sich nicht registrieren, und die Datei wird im Browser berechnet.
2. Starten Sie den Lauf. Bei der gespeicherten Bestellmenge von 1.000 Einheiten, mit dem Seed des Beispiels (7) und 5.000 Iterationen, beträgt der mittlere Gewinn 5.282 und die Chance eines Fehlbestands 50 %.
3. Öffnen Sie den Schritt „Optimize“. Die Bestellmenge (Model!B1) ist die Entscheidungszelle, von 600 bis 1.600 in Schritten von 10; das Ziel ist der maximale Mittelwert von Profit, und die Nebenbedingung begrenzt die Wahrscheinlichkeit von Lost sales über null auf höchstens 50 %. Klicken Sie auf „Optimize“: Die App wertet jede Bestellmenge mit 1.000 Iterationen aus, führt die besten drei mit 5.000 erneut aus, vergleicht den Sieger Iteration für Iteration mit dem Zweitplatzierten und zeichnet den mittleren Gewinn nach Bestellmenge mit seinem 95-%-Band.
4. Für die Bestellmenge mit einer Fehlbestandschance von 10 % wählen Sie „Goal seek“ (Zielwertsuche): Setzen Sie die Kennzahl auf „Probability“, die Bedingung auf „>“ mit dem Schwellenwert 0 für Lost sales und das Ziel auf 0,1; leeren Sie das Feld „Step“ der Bestellmenge (es enthält 10 aus der Studie), setzen Sie „Trials per evaluation“ auf 5.000 und klicken Sie auf „Seek goal“.
5. Klicken Sie auf „Set as fixed cells“ und starten Sie den Lauf erneut, um die vollständigen Ergebnisse bei der gewählten Bestellmenge zu sehen, oder auf „Add as scenario“, um sie mit der gespeicherten Bestellmenge auf denselben Ziehungen zu vergleichen.

Geht das auch in reinem Excel?

Für genau diesen Fall ja: Bei normalverteilter Nachfrage liefert =NORM.INV((B2-B3)/(B2-B4), 1000, 200) direkt die Bestellmenge des kritischen Fraktils von 1.086,1. Bei schiefer Nachfrage ersetzen Sie NORM.INV durch die Umkehrfunktion der jeweiligen Verteilung (LOGNORM.INV, GAMMA.INV oder PERCENTILE.INC auf vergangene Verkäufe), doch die Regel selbst gilt nicht mehr, sobald mehrere Produkte sich ein Budget oder ein Lager teilen, es eine Mindestbestellmenge gibt oder ein Abverkaufspreis davon abhängt, wie viel übrig ist. Eine Simulation kommt damit zurecht, aber ein simuliertes Modell in reinem Excel zu optimieren ist mühsam: Jede Neuberechnung zieht neue Zufallszahlen, sodass eine Datentabelle oder der Solver Bestellmengen auf verschiedenen Ziehungen vergleicht und dem Rauschen nachjagt. Dass jeder Kandidat auf denselben eingefrorenen Ziehungen ausgewertet wird, erledigt xellstorm für Sie. Monte-Carlo-Simulation in Excel zeigt den allgemeinen Ansatz.

Häufige Fragen

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